Prueba 3

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Define solución de una ecuación como un conjunto. ¿Qué es resolver una ecuación? ¿Cuándo se dice que una ecuación es equivalente a otra ecuación? En ese caso, ¿podemos decir que son ecuaciones equivalentes? ¿Qué son las transformaciones elementales sobre una ecuación? ¿Cómo se resuelve una ecuación?
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
   
   *
   *
   

   *

   *

   *
   *   (2x+1)² = 0
   *   (2x+1)² = 13
   *   (2x+1)² - 49 = 0
   *   0x = 0
   *   (x+1)² = x² + 2x + 1
3. ¿Qué es una ecuación diofántica? Pon un ejemplo.
4. Resuelve la ecuación diofántica x² + y² = z²
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica).
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números racionales.
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números reales.
   * 0x + 0y = 0
6. Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales:

Sustituye la tercera ecuación por otra de forma que el sistema resultante sea compatible indeterminado uniparamétrico.
7. Dos albañiles hacen una reparación en 4 horas. Uno de ellos la haría en 6 horas. Calcula el tiempo que tardaría en hacerla el otro solo.
8. Halla el divisor de una división entera sabiendo que el dividendo es 595, que el cociente y el resto son iguales y que el divisor es el doble del cociente.
9. En una finca hay 22 árboles entre manzanos, ciruelos y perales. El doble del número de ciruelos más el triple del número de perales es igual al doble del número de manzanos. Halla el número de árboles de cada tipo si se sabe que el número de ciruelos es la mitad del de manzanos.
10. Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

¿Qué es la estupidez?

Comentario detallado del contenido del vídeo.

Prueba 2

Polinomios. Fracciones algebraicas

1. Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x]. Observa que 





Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].


2. Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos. ¿2x+3 es una fracción algebraica?
3. Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.
   · Halla las raíces del polinomio 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · Resuelve la ecuación  polinómica 8x³ + 2x² - 13x + 3 = 0
   · Halla los ceros de la función polinómica y = 8x³ + 2x² - 13x + 3
4. Enuncia y demuestra el teorema del factor.
5. Halla el coeficiente a del polinomio x⁴ - 4x³ - ax para que el resto de la división entera de dicho polinomio y x+2 sea -2.
6. Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz de un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término independiente de a. Demuéstrala. Enuncia la proposición contrarrecíproca. ¿Es cierta la proposición recíproca?
7. La anterior proposición nos permite encontrar la raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales.
8. Factoriza los siguientes polinomios
   · 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · 12x³ - 8x² - 3x + 2
   · x⁴ + 4y⁴    Ayuda: suma y resta un adecuado monomio.
9. Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia entre dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.
10. Opera y simplifica el resultado

Prueba 1

Números reales

1. ¿Qué es un número real? ¿Qué es un número radical? ¿Qué es un número algebraico? ¿Qué es un número trascendente?
2. ¿El número 5 es un número decimal periódico? Pon tres ejemplos de números decimales no periódicos. ¿Cómo se llaman también dichos números decimales no periódicos?
3. Escribe en lenguaje matemático que si un número entero es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2 y múltiplo de 3. Demuéstralo. ¿Es cierta la proposición recíproca?
4. Escribe en lenguaje matemático logaritmo base dos de nueve. Demuestra que es un número irracional.
5. ¿Qué es una aplicación? ¿Qué es una sucesión de números reales? ¿Qué es una función real de variable real? ¿Cómo se puede definir una sucesión? Escribe en lenguaje matemático la sucesión (o mejor dicho sucesiones) que aparece(n) en la conjetura de Collatz.
6. ¿Qué es una conjetura matemática? Ejemplos.
7. Demuestra que la sucesión obtenida de la resta de dos términos consecutivos de una sucesión cuadrática (polinómica de grado 2) es una progresión aritmética.
8. Dibuja con regla y compás en la recta real los números raíz cuadrada de 6 y Ф.
9. Propiedades de la potenciación en Q. ¿Siguen siendo ciertas en R?
10. ¿Qué es racionalizar una división de números reales? Racionaliza el número cordobés.