sábado, 27 de marzo de 2021

Día escolar de las Matemáticas 2021


Resolución de los problemas propuestos en mi charla

"¿Por qué estudiar Matemáticas?" 


Problema 1



Traza una recta que divida a los dos rectángulos en dos partes con la misma área.

Empecemos por un problema más sencillo, sólo con un rectángulo y pensemos qué rectas lo dividen en dos partes con la misma área. Pensemos en alguna recta relevante, por ejemplo, la diagonal. Sabemos que la diagonal de un rectángulo lo divide en dos partes iguales. En Matemáticas decimos congruentes, es decir son semejantes, misma forma, y además, equivalentes, misma área; en este caso la razón de semejanza es 1. En algún momento de la Enseñanza Secundaria Obligatoria se estudia la semejanza de triángulos.


En el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Miguemáticas" se repasan los criterios de semejanza de triángulos, condiciones suficientes para que dos triángulos sean semejantes: 


Observación 1: escucha con atención el anterior vídeo y coméntalo para poder mejorar.
Observación 2: ¡hay un cuarto criterio de semejanza de triángulos que algunos olvidan!

Cuarto criterio de semejanza de triángulos: LLA

Volviendo a nuestro problema, los triángulos formados al trazar una diagonal de un rectángulo son congruentes, es decir, semejantes por el criterio de semejanza de triángulos AA, ¿puedes razonarlo? y además con la razón de semejanza igual a 1, ¿por qué? y consecuentemente son equivalentes, tienen la misma área.

Si giramos la diagonal respecto al centro del rectángulo la recta obtenida divide también al rectángulo en dos partes con la misma área. ¿Puedes razonarlo usando una vez más la semejanza de triángulos?


Así pues cualquier recta que pasa por el centro de un rectángulo lo divide en dos partes (cuadriláteros) con la misma área.

Por lo tanto como hay una sola recta que pasa por los centros de los dos rectángulos, acabamos de encontrar la recta que nos pide el problema. Si alguno de vosotros tiene espíritu matemático no se conformará con encontrar una solución. Los matemáticos siempre se preguntarán si hay más soluciones.


Problema 2



Dos localidades A y B situadas en el mismo lado de un río deciden construir un puente de forma que el gasto sea mínimo. ¿En qué punto P debemos construir el puente?

Que el gasto sea mínimo significa que buscamos en el río un punto P tal que el camino de A a P y de P a B sea lo más corto posible, es decir, la suma de las longitudes PA + PB sea mínima.  O sea, si consideramos las sumas de las longitudes QA + QB, siendo Q un punto cualquiera del río, buscamos la menor de dichas sumas. ¡Es un problema de optimización!

Convertimos el problema en otro problema equivalente cambiando la localidad B por el punto B’ punto simétrico de B respecto del río que en nuestro modelo es una recta.

¿Por qué es un problema equivalente? El triángulo BQB', siendo Q un punto cualquiera del río, queda dividido por la recta del río en dos triángulos congruentes o si lo preferís, iguales; es decir, semejantes de razón de semejanza igual a 1. Por tanto QB = QB' =>

QA + QB = QA + QB'

Así pues minimizar la suma QA + QB es lo mismo que minimizar la suma QA + QB'.

Por tanto, el punto P que buscamos para construir el puente es el punto de intersección del río y la recta que une A y B’, camino más corto entre dichos puntos. 


Problema 3



Desde el vértice C de un cuadrado ABCD se traza un ángulo de 45 grados cuyos lados intersectan con los lados del cuadrado en los puntos P y Q. Halla el perímetro del triángulo PAQ, azul en la figura.

En primer lugar el enunciado del problema es ambiguo pues no especifica cómo se traza el ángulo de 45º y se presupone por tanto que es tal y como se ve en la figura, es decir, dejando en el cuadrado dos ángulos iguales a cada lado (*). Por otra parte, observad que el enunciado del problema no nos da medidas de ningún lado y nos pide hallar un perímetro. La mayoría de los alumnos dirán que faltan datos. ¿Qué es medir la longitud de un segmento? Necesitamos una unidad de medida… pues tomemos el lado del cuadrado como unidad de medida, así que la longitud del lado del cuadrado mide 1.

Y ahora apliquemos lo que hemos aprendido, construimos el triángulo simétrico del triángulo CBQ: el triángulo CBQ’, con dos lados rojos en la parte inferior de la figura de la izquierda. Es fácil demostrar que dichos triángulos son congruentes o si lo preferís, iguales. ¿Qué criterio de semejanza podemos utilizar? También el triángulo CBQ es congruente con el triángulo CDP. Por tanto PQ = QQ'. Llamemos x a la medida de la longitud del segmento

BQ

BQ = x, por tanto QQ’ = 2x y también PD = BQ, entonces veamos lo que miden los lados del triángulo PAQ que, por cierto, es rectángulo: el cateto PA = AD – PD = 1 – x el otro cateto QA = AB – BQ = 1 – x y la hipotenusa PQ = QQ' = 2x, y consecuentemente su perímetro es igual a (1 – x) + (1 – x) + 2x = 2. Es decir el perímetro del triángulo PAQ es el doble del lado del cuadrado.

(*) ¿Y si el enunciado no es ambiguo y no nos dejamos llevar por la figura?


La idea, que ha quedado desapercibida, es la misma: construir el triángulo CQQ' congruente al triángulo CPQ, así pues trazamos

la recta simétrica de CP respecto de CQ,

y como antes, sea x = BQ, pero ahora BQ' no tiene por qué ser igual a BQ como antes, así pues sea y = BQ'. Es interesante observar la variabilidad de x y consecuentemente de y: 0<x<1, 1>y>0, pues el punto Q varía sobre el lado del cuadrado desde el vértice A hasta el vértice B (ambos sin incluir pues nos quedamos sin triángulo azul) (*). Observa y demuestra que el punto Q' está en la prolongación del lado

AB

Por tanto, PQ = QQ' = QB + BQ' = x + y. Además, QA = AQ = AB - BQ = 1 - x. Y por otra parte, DP = BQ' = y, pues los triángulos CDP y CBQ' son congruentes, por tanto, AP = AD - DP = 1 - y. Por tanto, el perímetro del triángulo PAQ es igual a AP + PQ + QA = (1-y) + (x+y) + (1-x) = 2. Es decir el perímetro del triángulo PAQ es el doble del lado del cuadrado.

Observación: tenemos que aprender que en Geometría no debemos dejarnos llevar por la figura.

(*) En Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. En nuestro caso, por ejemplo, ¿qué relación hay entre x e y?


Problema 4



La mediana de un triángulo lo divide en dos triángulos con la misma área.

Los dos triángulos tienen sus bases de la misma longitud por definición de mediana y comparten la altura (observa en esta figura (*) que en un caso la altura es interior y en el otro es exterior), por tanto, los dos triángulos obtenidos al trazar la mediana tienen la misma área.

(*) ¿Hay algún caso en el que esta observación no ocurra?


Problema 5



Observa un cuadrado dividido en cuatro regiones que comparten un vértice, punto interior del cuadrado, desde el cual se han trazado segmentos a los puntos medios de los lados del cuadrado. Nos dan el área de las otras tres regiones. Halla el área de la región azul. ¿Y si fuera un cuadrilátero cualquiera? E incluso, ¿si fuera un polígono cualquiera de cuatro lados o más?

La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Academia Internet":


La solución puede generalizarse a un polígono cualquiera de cuatro lados o más pues observad que en ningún momento se ha usado que la región parcelada sea un cuadrado.


Problema 6



En un semicírculo se dibujan, tal y como se ve en la figura, triángulos isósceles semejantes. ¿Cuál es la razón entre el área del sector circular pintado de rosa y el área del semicírculo?

Ignacio Larrosa en su tuit del 10 de marzo de 2021 en respuesta a @diegorattaggi nos dice que es fácil ver que si los arcos son iguales, los triángulos son semejantes. ¿Lo veis?


Y recíprocamente, para dibujar triángulos isósceles semejantes con un lado en el diámetro y el vértice opuesto en una semicircunferencia y con los lados sobre el diámetro cubriendo todo el diámetro tal y como se ve en la figura el número de triángulos, n, tiene que ser par y los vértices estar distribuidos formando n+1 arcos iguales, uno más que el número de triángulos.

Veámoslo para n = 2


Los triángulos CDF y BEG son semejantes por construcción, ambos tienen un lado sobre el diámetro de la circunferencia y los otros dos lados son paralelos respectivamente. Por tanto, tienen sus tres ángulos iguales respectivamente. Pero, ¿son isósceles? Es evidente que no. 

Tenemos que mover los puntos D y E sobre la semicircunferencia manteniendo el paralelismo de los lados hasta conseguir que los triángulos CDF y BEG sean isósceles. Observa que E es el punto simétrico de D respecto de la recta perpendicular al diámetro en el centro de la circunferencia.


Todavía falta que los lados sobre el diámetro lo cubran completamente:


Ocurre justo cuando los tres arcos CD, DE y EB son iguales.

Observación: ¡el problema no se acaba aquí!

Observemos con detenimiento la solución propuesta por Ignacio Larrosa y el mucho esfuerzo que hizo pero no suficiente pues en aquel momento se encontraba un poco vago:


En el caso de la figura del problema propuesto por Diego Rattagi el número de triángulos es n = 6. Por tanto tenemos n+1 = 7 sectores iguales y el área del sector circular rosa es la séptima parte del área del semicírculo. Así pues la razón pedida es 1/7. Y generalizando el problema, la razón será 1/(n+1).


Problema 7



1.- Expresa en castellano como se disponen los invitados.

Los invitados se disponen en los laterales libres de mesas cuadradas dispuestas en una fila de forma que se juntan dos laterales de las mesas quedando inutilizados. Cada vez se añade una mesa más.

2.- Dibuja el siguiente término.


3.- ¿Cuántos invitados podrán sentarse en 5 mesas?

Hagamos una tabla con el número de mesas y su correspondiente número de invitados.

Número de mesas (x)

Número de invitados (y)

1

4

2

6

3

8

4

10

5

¿?

Observamos que cada vez que añadimos una mesa podemos sentar a dos invitados más, por tanto en 5 mesas podrán sentarse 12 invitados.

4.- ¿Y en x mesas?

Hemos observado que el número de invitados se aumenta cada vez en 2, por lo tanto estamos ante una progresión aritmética de diferencia 2: y = 2x + b. (Previamente hay que trabajar el término general de una progresión aritmética). Para hallar b nos fijamos, por ejemplo, que el primer término es 4, o sea, si llamamos y al número de invitados, para x = 1 tenemos que y = 4 => 4 = 2·1 + b => b = 2 => y = 2x + 2

5.- ¿Cuántas mesas necesitaremos para 22 invitados?

Hemos encontrado la relación entre el número de invitados y el número de mesas, por tanto si y = 22 => 22 = 2x + 2 => 20 = 2x => x = 10 => Necesitaremos 10 mesas

6.- ¿Cuántas mesas necesitaremos para y invitados?

Se trata de expresar x en función de y, así pues hacemos lo que vulgarmente llamamos despejar x, que es exactamente lo que hemos hecho en el apartado anterior pero en vez de con 22 con y: x = (y - 2) / 2

7.- ... Podemos observar que dependiendo del número de invitados el número de mesas no será un número entero positivo.

En efecto, para que el número de mesas x sea un número entero y, el número de invitados, tiene que ser un número par. O dicho de otra forma, si el número de invitados es impar entonces el número de mesas no será entero. ¿Puedes razonarlo?


Problema 8



Resuelve la ecuación irracional con un parámetro.

Observemos con detenimiento la solución propuesta por Ignacio Larrosa:



Problema 9

Las parábolas de la imagen han sido dibujadas con Geogebra, sus ecuaciones son:

x2-17x-y=0

x+17y-y2=0

Demuestra que los cuatro puntos de corte de dichas parábolas están en una misma circunferencia.


¡Un problema de Geometría Analítica! Se nos puede ocurrir resolver el sistema y entonces hallar los cuatro puntos de corte, después hallar la circunferencia que pasa por tres de ellos y comprobar que el cuarto pertenece a dicha circunferencia. ¡Un camino muy engorroso!

Veamos un camino más elegante: no es necesario resolver el sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones se dice equivalente a otro sistema de ecuaciones si tiene la misma solución. Es una relación binaria claramente SIMÉTRICA por lo que podemos emplear el plural: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Observad la transformación realizada para obtener un sistema equivalente de ecuaciones:

E1: x2-17x-y=0 Sustituir E1 por E1-E2
E2: x+17y-y2=0

E'1: x2-18x+y2-18y=0 (*)
E2: x+17y-y2=0 

(*) Es la ecuación de una circunferencia: (x-9)2+(y-9)2-162=0

Observación: en Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. Podemos hacernos preguntas, no olvidemos la recomendación de Cantor: "En Matemáticas el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas".
  • ¿Si dos parábolas se cortan en cuatro puntos o en menos, estarán éstos en una misma circunferencia?
  • Observando el procedimiento de resolución podemos preguntar
    • ¿Y si cambiamos 17 por un parámetro a (a número real cualquiera)? Usa Geogebra y observa qué pasa al variar el parámetro a.
      x2-ax-y=0
      x+ay-y2=0
    • ¿Nos atrevemos con dos parámetros?
      x2-ax-by=0
      bx+ay-y2=0
    • ¿En todos los casos un punto de corte de las dos parábolas es el origen de coordenadas?
    • ¿Qué pasaría si sustituimos E1 por E1+E2?
  • ¡Haced vosotros más preguntas, ánimo!


Problema 10

¿Cuatro hombres con una linterna podrán cruzar, de noche, completamente a oscuras, un puente, que sólo soporta a dos personas a la vez, en 15 minutos sabiendo que los tiempos que tardan cada uno de ellos en cruzarlo son 1, 2, 5 y 8 minutos?

La solución de este clásico acertijo la podéis encontrar en Internet: 



Problema 11


La cuenta de Twitter @GWOMaths, Great Women of Mathematics, nos propone cada día un problema sacado de uno de los muchos calendarios de Matemáticas que hay. Éste problema lo propuso el 27 de marzo de 2021: 


¿Tendremos que elevar al cubo? ¡Camino muy engorroso! Fijémonos en un polinomio cualquiera p(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 ¿Cuál es la suma de sus coeficientes?

an + an-1 + … + a1 + a0

¿Qué observamos? ¡Han desaparecido las partes literales, "las x"! Aquí está la clave, si hacemos x = 1, es decir, si hallamos el valor numérico del polinomio p(x) en x=1: p(1)

p(1) = an + an-1 + … + a1 + a0

Resulta que p(1) es la suma de los coeficientes del polinomio p(x).

¡Ya está! Este conocimiento lo aplicamos a nuestro problema, tan solo tenemos que sustituir la x por 1, así pues, (14+13-12+1+1)3 = 33 = 27


Problema 12

Tres amigos (digamos A, B y C) se pasan la tarde jugando al ping-pong con el método ‘el que pierde se va y entra a jugar el que está afuera’. Al acabar la tarde, las cantidades de partidos que jugó cada uno fueron las siguientes: A jugó 10 partidos, B jugó 15 partidos y C jugó 17 partidos. ¿Quién perdió el segundo partido?

La solución de este problema propuesto por Adrián Paenza la podéis encontrar en Internet: 



Problema 13

Halla un número de cuatro cifras, cuadrado perfecto, con todas sus cifras menores que 9 tal que si a cada cifra se le suma 1, el número resultante es también cuadrado perfecto.

Es fácil encontrar el primer cuadrado perfecto de cuatro cifras, todas menores que 9: 322=1024 y si a cada cifra le sumamos 1 obtenemos 2036 que no es un cuadrado perfecto. Podemos usar una hoja de cálculo para encontrar los siguientes cuadrados perfectos... ¡la cuenta de la vieja, con ordenador, un camino engorroso!
Pensemos en otro camino: las posibles cifras de las unidades de un cuadrado perfecto son 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Como tenemos que sumar 1 y obtener un cuadrado perfecto entonces el cuadrado perfecto que estamos buscando terminará en 0, o en 4, o en 5. ¡Todavía son demasiados, camino también engorroso!
Pensemos en otro camino más elegante: el problema es equivalente a resolver la ecuación diofántica x2+1111=y2 => y2-x2=1111 => (y+x)(y-x)=1111 Buscamos una factorización de 1111, exactamente queremos expresar 1111 como producto de dos números enteros positivos. ... ¡y de sólo dos cifras pues su cuadrado tiene que ser un número de cuatro cifras! 1111 es divisible por 11 ¿Recuerdas las reglas de divisibilidad?


=> 1111:11=101 y 101 es un número primo, ¿por qué?, por tanto 1111 se factoriza como 1·1111, 1111·1, 101·11 y 11·101 (ésta se conoce como factorización en primos). Observad que si x>0 => y+x>y-x por tanto descartamos las factorizaciones en las que el primer factor, y+x, es más pequeño que (es menor que) el segundo factor, y-x. En lenguaje matemático escribimos: y+x<y-x. Y además también descartamos la segunda factorización, 1111·1, porque x e y tienen que tener sólo dos cifras. Aunque no es necesario si queréis podéis resolver el sistema de ecuaciones lineales y+x=1111 e y-x=1. Así pues la única factorización posible es 1111=101·11=> y+x=101 e y-x=11 => x=45 e y=56 => 452=2025 y 562=3136. Solución: 2025 

Observación 1: en Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. En nuestro caso, por ejemplo, ¿de cuántas formas se puede expresar un número entero positivo como producto de dos números enteros positivos? Parece evidente que depende del número de números primos en su factorización de números primos.

Observación 2: Puig Adam escribió en 1955 un decálogo de la Didáctica de la Matemática que todos los profesores de Matemáticas deberían conocer.


Observación 3: gracias a Jesús Silva-Herzog Márquez, periodista y escritor mexicano, miembro de la Academia Mexicana de la Lengua, por enseñarnos el artículo "La mejor respuesta al fanatismo: el liberalismo" de Bertrand Russell en la revista del New York Times del 16 de diciembre de 1951. ¡El New York Times tiene el acceso restringido!



Problema 14

¿Qué preguntas haríais si os dicen que la probabilidad de que una vacuna te produzca un efecto secundario grave en las primeras semanas es prácticamente nula o que la probabilidad de que un rayo impacte contra una persona es de uno entre un millón?

Un experimento aleatorio se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. No debemos olvidar que las condiciones iniciales de un experimento aleatorio afectan a las probabilidades de sus sucesos aleatorios. En el experimento aleatorio "lanzar una moneda al aire, dejarla caer al suelo y observar la cara superior" cuyo espacio muestral está formado sólo por dos sucesos aleatorios: "sacar cara" y "sacar cruz", presuponemos que es REGULAR, ¡qué confiados, así nos podrán fácilmente engañar! ¡Dependerá de la moneda que usemos!

El experimento aleatorio "una vacuna te produzca un efecto secundario grave o no en las primeras semanas" está definido de forma ambigua y además no parece que se pueda repetir indefinidamente y tampoco está muy claro que se pueda hacer siempre en las mismas condiciones.

El experimento aleatorio "un rayo impacte contra una persona o no" se repite cada vez que hay una tormenta ... 


Problema 15

¿Cuál es la probabilidad de acertar 6 números en “La Primitiva"?

La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Canal mistercinco": 



Problema 16

Cuenta la leyenda que Hieron II de Siracusa entregó una pieza de oro puro a un orfebre para que le hiciera una corona. El día de su entrega al rey le entró una gran duda, ¿y si el orfebre le estaba engañando y había sustraído una parte de su oro y lo había cambiado por otro material menos valioso de forma que conservara su peso? ¿Cómo calcular la densidad de la corona?


La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de Luis Carlos Galán



No me olvido, os dejo con la charla que dio Clara Grima con motivo del Día Internacional de las Matemáticas, el pasado 14 de marzo de 2021 con el lema "Matemáticas para un mundo mejor":

 
Y por el mismo precio os dejo enlaces a algunos calendarios científicos:

Con esta charla para el día escolar de las Matemáticas, 12 de mayo de 2021, terminará mi aventura, animando a mis exalumnos y otros que ya no lo serán a acercarse sin miedo a las Matemáticas. ¿Por qué me jubilé? ¡Maldito coronavirus! 😅😅😅



Publicado por en No hay comentarios:
Suscribirse a: Entradas (Atom)