Prueba 2

Polinomios. Fracciones algebraicas

1. Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x]. Observa que 





Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].


2. Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos. ¿2x+3 es una fracción algebraica?
3. Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.
   · Halla las raíces del polinomio 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · Resuelve la ecuación  polinómica 8x³ + 2x² - 13x + 3 = 0
   · Halla los ceros de la función polinómica y = 8x³ + 2x² - 13x + 3
4. Enuncia y demuestra el teorema del factor.
5. Halla el coeficiente a del polinomio x⁴ - 4x³ - ax para que el resto de la división entera de dicho polinomio y x+2 sea -2.
6. Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz de un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término independiente de a. Demuéstrala. Enuncia la proposición contrarrecíproca. ¿Es cierta la proposición recíproca?
7. La anterior proposición nos permite encontrar la raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales.
8. Factoriza los siguientes polinomios
   · 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · 12x³ - 8x² - 3x + 2
   · x⁴ + 4y⁴    Ayuda: suma y resta un adecuado monomio.
9. Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia entre dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.
10. Opera y simplifica el resultado