Prueba 4

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones

1. ¿Qué ocurre en una desigualdad a < b si elevamos ambos miembros al cuadrado? ¿Y al cubo? ¿Y si elevamos a -1? ¿Y si elevamos a un medio? ¿Y a un tercio?
2. Define solución de una inecuación con una incógnita como un conjunto.
3. Estudia el signo de las siguientes funciones reales de variable real definidas por 
• 
• -2x+3y-1=0
• y=x²-2x+1
• y=x³-6x²+11x-6
• 
4. ¿Cuándo el producto de x+1 y -2x+3 es positivo?
5. Resuelve la inecuación lineal con dos incógnitas -2x+0y>3
6. Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución es la región plana no acotada coloreada
   
   
   
7. Resuelve el sistema de inecuaciones
   y > x - 1
   y < -0'5x - 6'5
   y > -2x - 8
8. Resuelve en Z² el sistema de inecuaciones
   x - y - 1 < 0
   x + 2y + 13 > 0
   2x + y + 8 < 0
9. Juan tiene la costumbre de subir la escalera de su casa saltando los escalones de 2 en 2 y bajándolos con saltos de 3 en 3. No recuerda con exactitud cuántos saltos da entre la subida y la bajada: entre 45 y 50. ¿Cuántos escalones tiene la escalera de su casa?
10. Un artesano fabrica dos tipos de puertas de jardín utilizando varillas de hierro macizo y varillas de hierro hueco. Para una puerta del primer tipo, con un beneficio por unidad de 40 €, necesita 10 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Para una puerta del segundo tipo, con un beneficio por unidad de 60 €, necesita 5 metros de varilla de hierro macizo y 20 metros de varilla de hierro hueco. Dispone de 440 metros de varilla de hierro macizo y, como mínimo, debe gastar 800 metros de varilla de hierro hueco. Además, tiene que fabricar un mínimo de 25 unidades del primer tipo.

Sophie Germain

La factorización x⁴+4y⁴=(x²+2y²+2xy)(x²+2y²-2xy) se conoce como la identidad de Sophie Germain, matemática autodidacta que usó un seudónimo masculino para cartearse con Lagrange y Gauss :-)

n<>2 primo de Germain => no hay soluciones enteras no triviales de xⁿ+yⁿ=zⁿ

¡Qué niño más mono!

Comento su contenido... ¡Qué niño más mono! es un título superficial que apela a las EMOCIONES y no entra en el contenido de la charla ni tampoco en las habilidades de este niño :-)

Prueba 3

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

1. Define solución de una ecuación como un conjunto. ¿Qué es resolver una ecuación? ¿Cuándo se dice que una ecuación es equivalente a otra ecuación? En ese caso, ¿podemos decir que son ecuaciones equivalentes? ¿Qué son las transformaciones elementales sobre una ecuación? ¿Cómo se resuelve una ecuación?
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
   
   *
   *
   

   *

   *

   *
   *   (2x+1)² = 0
   *   (2x+1)² = 13
   *   (2x+1)² - 49 = 0
   *   0x = 0
   *   (x+1)² = x² + 2x + 1
3. ¿Qué es una ecuación diofántica? Pon un ejemplo.
4. Resuelve la ecuación diofántica x² + y² = z²
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números enteros (ecuación diofántica).
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números racionales.
   * 2x + 3y - 1 =0 en el conjunto de los números reales.
   * 0x + 0y = 0
6. Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales:

Sustituye la tercera ecuación por otra de forma que el sistema resultante sea compatible indeterminado uniparamétrico.
7. Dos albañiles hacen una reparación en 4 horas. Uno de ellos la haría en 6 horas. Calcula el tiempo que tardaría en hacerla el otro solo.
8. Halla el divisor de una división entera sabiendo que el dividendo es 595, que el cociente y el resto son iguales y que el divisor es el doble del cociente.
9. En una finca hay 22 árboles entre manzanos, ciruelos y perales. El doble del número de ciruelos más el triple del número de perales es igual al doble del número de manzanos. Halla el número de árboles de cada tipo si se sabe que el número de ciruelos es la mitad del de manzanos.
10. Clasifica y resuelve por el método de Gauss, en forma matricial, y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

¿Qué es la estupidez?

Comentario detallado del contenido del vídeo.

Prueba 2

Polinomios. Fracciones algebraicas

1. Define los siguientes conjuntos de polinomios: Z[x], Q[x] y R[x]. Observa que 





Pon ejemplos de, un polinomio en Z[x], un polinomio en Q[x]-Z[x] y un polinomio en R[x]-Q[x].


2. Halla el inverso del polinomio 2x+3. ¿Qué es una fracción algebraica? Pon ejemplos. ¿2x+3 es una fracción algebraica?
3. Define polinomio, ecuación polinómica y función polinómica. Define raíz de un polinomio, solución de una ecuación y cero de una función. Pon ejemplos.
   · Halla las raíces del polinomio 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · Resuelve la ecuación  polinómica 8x³ + 2x² - 13x + 3 = 0
   · Halla los ceros de la función polinómica y = 8x³ + 2x² - 13x + 3
4. Enuncia y demuestra el teorema del factor.
5. Halla el coeficiente a del polinomio x⁴ - 4x³ - ax para que el resto de la división entera de dicho polinomio y x+2 sea -2.
6. Escribe en lenguaje matemático la siguiente proposición: Si a es un número entero raíz de un polinomio p(x) con coeficientes enteros entonces a es un divisor del término independiente de a. Demuéstrala. Enuncia la proposición contrarrecíproca. ¿Es cierta la proposición recíproca?
7. La anterior proposición nos permite encontrar la raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros. Enuncia una proposición análoga sobre las raíces racionales de un polinomio con coeficientes racionales.
8. Factoriza los siguientes polinomios
   · 8x³ + 2x² - 13x + 3
   · 12x³ - 8x² - 3x + 2
   · x⁴ + 4y⁴    Ayuda: suma y resta un adecuado monomio.
9. Sea f una función polinómica con coeficientes enteros. Demuestra que si la distancia entre dos puntos cualesquiera de su gráfica con coordenadas enteras es un número entero entonces el segmento que une dichos puntos es paralelo al eje de abscisas.
10. Opera y simplifica el resultado

Prueba 1

Números reales

1. ¿Qué es un número real? ¿Qué es un número radical? ¿Qué es un número algebraico? ¿Qué es un número trascendente?
2. ¿El número 5 es un número decimal periódico? Pon tres ejemplos de números decimales no periódicos. ¿Cómo se llaman también dichos números decimales no periódicos?
3. Escribe en lenguaje matemático que si un número entero es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2 y múltiplo de 3. Demuéstralo. ¿Es cierta la proposición recíproca?
4. Escribe en lenguaje matemático logaritmo base dos de nueve. Demuestra que es un número irracional.
5. ¿Qué es una aplicación? ¿Qué es una sucesión de números reales? ¿Qué es una función real de variable real? ¿Cómo se puede definir una sucesión? Escribe en lenguaje matemático la sucesión (o mejor dicho sucesiones) que aparece(n) en la conjetura de Collatz.
6. ¿Qué es una conjetura matemática? Ejemplos.
7. Demuestra que la sucesión obtenida de la resta de dos términos consecutivos de una sucesión cuadrática (polinómica de grado 2) es una progresión aritmética.
8. Dibuja con regla y compás en la recta real los números raíz cuadrada de 6 y Ф.
9. Propiedades de la potenciación en Q. ¿Siguen siendo ciertas en R?
10. ¿Qué es racionalizar una división de números reales? Racionaliza el número cordobés.