Teorema de Menelao

¿Cómo saber si tres puntos distintos en el plano están alineados?

¿Trabajarías aspectos teóricos y prácticos del teorema de Menelao y su demostración en la ESO? 

Yo sí, claro, ¿y tú?

Propuesta de actividad para la clase de Matemáticas de 4º de ESO con una construcción GEOGEBRA que no puedo llevar a la práctica pues ya no estoy en activo y tampoco salió el Taller de Matemáticas.

La respuesta obvia a la pregunta sería trazar la recta que une dos de esos puntos y comprobar que el tercero está en dicha recta. En Geometría se traza una recta con una regla y cómo se hace en Topografía. Observando la figura resulta que el enunciado de la pregunta ha olvidado decir que entremedias de los puntos hay unos obstáculos que impiden trazar dicha recta.

Casilla de control Rectas

Vamos entonces a trazar tres rectas evitando los obstáculos. Os preguntaréis por qué, en breve lo sabremos. Ahora, una pregunta: ¿de qué manera trazamos dichas rectas, en qué orden?

Casilla de control Puntos de intersección

Marcamos ahora los puntos de intersección de dichas rectas y observamos los diferentes segmentos que se han formado.

Casilla de control Teorema de Menelao

Hemos trazado esas tres rectas porque queremos aplicar el teorema de Menelao que establece una condición necesaria y suficiente para que tres puntos distintos en el plano estén alineados. Aquí podemos hacer un paréntesis o no para comentar la importancia en Matemáticas de la proposición implicativa. p ⇒ q (si p entonces q). La proposición p se dice antecedente o hipótesis y la proposición q de dice consecuente o tesis. Decimos que la proposición consecuente es condición necesaria de la proposición antecedente y también que la proposición antecedente es condición suficiente de la proposición consecuente. ¡Aquí lo dejo! ¿Se debe hablar de estas cuestiones básicas de las Matemáticas en 4º de ESO?

Casilla de control Medir

Medimos ahora las longitudes de los segmentos que aparecen en el teorema de Menelao. Como todos sabéis, o deberíais saber, medir supone acordar una unidad de medida y otro hecho que no podemos obviar es que las medidas serán, en la mayoría de los casos, números aproximados. ¿Cómo se mide en Geometría? ¿Y en Topografía?

Casilla de control Comprobar

Hacemos las operaciones y comprobamos que se cumple la igualdad.

Casilla de control Demostración

Y llegados a este punto, pregunto: ¿se deben hacer demostraciones en la clase de Matemáticas? Ahora es cuando un profesor de Matemáticas debe decidir si explicar o no con el debido entusiasmo y énfasis la demostración del teorema de Menelao.

Casilla de control Proposición recíproca

No olvidemos que el teorema de Menelao es una proposición de doble implicación y sólo hemos demostrado una de ellas que podemos llamar proposición directa. Faltaría entonces demostrar la proposición recíproca, ¿alguien se atreve? Por cierto, es la que hemos usado para afirmar que los tres puntos están alineados.