Tras las elecciones generales del 23 de julio recupero un texto olvidado del primer y único concurso de microrrelatos, del año 2005, en la web de la Asociación de Amigos del Arte y la Cultura >> ddooss
SIN DETALLES
Se desnudó con atrevimiento, en plena campaña infortunado con sus afectos, se había lanzado desde la tribuna. Los fanáticos enaltecían a los espectadores. A continuación, revivió el descenso por esquinas que le tiranizaban empotradas sobre los bordes. Ahora ya no se orientaba. No era tan evidente, sólo le quedaba rectificar. Había perfeccionado la candidatura, consciente de que obtendría más votos. Todos los dislates de los analistas competentes, como los de la mayoría de los especialistas, eran descubiertos, ante corporaciones de carácter incógnito, desde tarugos corrientes hasta maliciosos a carreras. Ya no conseguía saber a quién favorecer. Por fin comprendió que las mentiras vertidas le entristecían y se despreciaba por haberlas difundido.
Hasta los periodistas libres se mostraban perspicaces por ganar lo que habían intimado en las mansiones durante aquellas renovadas reuniones, y aún así no se habían agobiado nada al respecto. Y peor aún, enjabonaban las corrupciones. Un ciudadano fanatismo que le había debilitado, aunque fueran unos segundos, le quebrantó su representación. Imaginó que quería coger el autobús que estaba completo y, aunque ensalzaran a otro, antes tenía que rectificar algo. «¿De verdad voy a reconocer algo así?».
Giró por callejones sin borrachos y retrocedió sin descalabro hasta la glorieta. De allí corrió a una oscura calle situada justo en el extremo opuesto de la pérgola. Serenamente a nado ahora hacia las fuentes cerradas, su aspiración era exhibir que sus pensamientos se relegaban contra otras apetencias. Lejos de la ceremonia cambió bruscamente de dirección y se sentó en unos peldaños atiborrados de señoras. Las brillantes lumbreras cuchicheaban excitadas, según la luz que percibían al pronunciarse ferozmente sobre los atributos, mientras la gárgola se alteraba sin tapujos acordando alborotos ordinarios.
Asisto perplejo a las desavenencias de los líderes de algunos partidos a la izquierda del PSOE 😠
Podemos coincidir en que la democracia es el sistema político menos malo aunque algunos todavía piensan que es la dictadura de la mayoría olvidando los derechos de las minorías. Podemos reúne este sábado, 17 de junio de 2023, a su Consejo Ciudadano Estatal.
¡Queda mucho camino por recorrer para mejorar la democracia!
Así que he escrito dos correos al líder de Podemos en Castilla y León, Pablo Fernández, procurador en el grupo mixto y cuya dirección de correo electrónico está en la web de las Cortes de Castilla y León.
Comunicación con tus políticos
mié, 14 jun, 18:54 (hace 3 días)
Hola, ¿qué tal?
Entiendo que si en la web de las Cortes de Castilla y León está tu dirección de correo electrónico es para que cualquier ciudadano pueda ponerse en contacto contigo.
Soy votante tuyo o para ser más preciso de tu partido. ¿Es posible quedar esta semana para compartir mi análisis y reflexión sobre la situación política actual ante las próximas elecciones generales?
Puedo acercarme a la hora que mejor te venga al bar de la parte de atrás de las Cortes: Villa del Prado.
Supongo que podría escribirlo aquí mismo pero me resulta más fácil y humano hacerlo en persona.
En espera de tu respuesta, seguimos trabajando y aprendiendo, un saludo.
Comparto mi reflexión
jue, 15 jun, 18:57 (hace 2 días)
Hola de nuevo, tras pasar 24 horas y no haber recibido respuesta te comparto mi reflexión incompleta sobre las desavenencias de Podemos con SUMAR tal y como son percibidas a través de los medios de comunicación.
Una vez acordada vuestra incorporación en SUMAR poneros TODOS en Podemos a trabajar en la misma dirección que el conjunto de partidos integrantes. En toda actividad política se requiere una perfecta coordinación y la mejor comunicación posible.
Si hubiéramos quedado, aún podríamos hacerlo mañana viernes, podría haber compartido también mi análisis que es más complejo.
En fin, espero que todos los políticos implicados en el espacio progresista de este país tengáis la inteligencia suficiente para hacer una buena campaña electoral. Y en particular, espero que en la reunión de esté sábado en Podemos el mensaje público sea muy claro. ¡Menos ruido y más programa!
Mucho ánimo e inteligencia y que el progresismo siga haciendo la mejor política económica y social para España.
Algunos ya estaréis jubilados pero espero que sigáis preocupados por mejorar nuestro sistema educativo con el objetivo último de seguir mejorando nuestra sociedad democrática. Seguro que os habréis dado cuenta tras vuestra larga carrera docente que la escuela es conservadora y en ocasiones alejada de la realidad social en la que se encuentra. O quizás no, pues el pensamiento analítico y reflexivo que se supone todo adulto debe desarrollar no es tan común como cabría esperar; es muy fácil caer en el sesgo de confirmación entre otros muchos sesgos cognitivos del ser humano. Ojo, yo mismo lucho todos los días por superar cualquier sesgo cognitivo; por cierto, ¿esto son contenidos o son competencias? Más tarde trataré de responder.
Y los docentes que estáis en activo conformáis un grupo muy diverso pero quiero compartir con vosotros mi análisis, sin duda incompleto, sobre el sistema educativo español y la implementación de la LOMLOE. Los que ya estamos jubilados hemos conocido diferentes leyes sobre el sistema educativo español y podemos compartir un mismo desánimo: las leyes por sí solas no cambian la realidad. Mi análisis es incompleto pues sólo me voy a fijar en algunos aspectos que leo en Twitter, un lugar poco apropiado para el debate dialéctico.
Antes que nada me pregunto al leer muchos tuits si es posible tolerarse para subsistir teniendo la capacidad de comprensión para lograr la paz y la verdad compartida que no impuesta. Ya un filósofo griego partidario de la dialéctica era muy consciente de la dificultad de la generalización de este método de pensamiento crítico y llegó a decir que cuando el debate se ha perdido la calumnia es la herramienta del perdedor. Si realmente llegó a decir eso es que el marco mental dominante (la lucha entre opuestos nunca desaparece: ganar versus perder) pesaba mucho y así ha continuado hasta nuestros días. Sospecho que hemos avanzado muy poco hacia esa paz tan deseada, o no, desde entonces y que queda un largo camino por recorrer, o no. Muchas veces me pregunto si realmente es posible. ¡En todo caso, seguimos aprendiendo y luchando por un mundo mejor!
Cuando me refiero a la verdad compartida versus la verdad impuesta no me estoy refiriendo a la verdad contada y mucho menos a la verdad lógica de las Matemáticas. ¿Qué es la verdad? Éste es un concepto poliédrico en el que no voy a entrar en esta carta. Sólo quiero recordar lo que he escrito en algunos de mis tuits: en la escuela se debe enseñar/aprender a desarrollar el pensamiento analítico y reflexivo para lograr ciudadanos de una sociedad democrática participativa y cultivada que sean capaces con el debido esfuerzo de distinguir la verdad contada. ¿Quiénes cuentan la verdad?
Comenzaré diciendo que la Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación, conocida como LOMLOE, en ningún momento habla de "situaciones cotidianas". En su desarrollo posterior por supuesto que aparecen, sólo faltaría, la escuela no puede estar nunca alejada de la realidad social y en sus etapas OBLIGATORIAS el objetivo fundamental debe ser educar a ciudadanos de una sociedad democrática. Algunos a esto lo llamarán "adoctrinar", éste es un análisis en el que no voy a entrar en esta carta. En última instancia todos los docentes de dichas etapas, aunque el conocimiento lo hayamos fragmentado en áreas y asignaturas, no pueden olvidar ese último fin de la educación obligatoria.
Comentaba al principio de esta carta la falta de pensamiento analítico y reflexivo de los adultos y que, en el caso de los docentes en activo, difícilmente podrán entonces transmitirlo a sus alumnos. En efecto en Twitter leo afirmaciones que tergiversan, exageran o fragmentan la realidad para ridiculizar las propuestas de la ley educativa, diciendo lo que en ningún caso se dice en la LOMLOE y sus desarrollos posteriores, con el único fin de construir su propio argumento (falacia del espantapájaros) que sin duda no responde a un pensamiento analítico. ¡Cuánto sesgo cognitivo!
¡Todos los docentes de la enseñanza OBLIGATORIA juntos para lograr un mismo empeño: ciudadanos críticos que nunca dejarán de desarrollar el pensamiento analítico y reflexivo! Y esto me lleva a un asunto estructural del sistema educativo español: la organización escolar y el trabajo colaborativo docente. Lo que a su vez está relacionado con la formación inicial y permanente del profesorado. ¡Y ahí está el meollo de la implantación de la LOMLOE! Si no se consigue diseñar un plan de implantación de la LOMLOE con los recursos materiales y humanos necesarios todo quedará en agua de borrajas, ¡como siempre!
Entro en el lío de los contenidos versus las competencias. En la LOMLOE la palabra "competencias" aparece 118 veces con significados distintos. En el diccionario de la RAE la palabra "competencia" también tiene diferentes significados y ninguno parece encajar completamente con este concepto de competencia educativa que no tiene nada de nuevo; ya en la antigua Grecia tenían el concepto “ikanos” para referirse a la habilidad para conseguir algo y en la antigua Roma “competens” (ser capaz de). En el artículo 4.4 de la LOMLOE se dice exactamente:
"La enseñanza básica persigue un doble objetivo de formación personal y de socialización, integrando de forma equilibrada todas las dimensiones. Debe procurar al alumnado los conocimientos y competencias indispensables para su desarrollo personal, para resolver situaciones y problemas de los distintos ámbitos de la vida, crear nuevas oportunidades de mejora, así como para desarrollar su socialización, lograr la continuidad de su itinerario formativo e insertarse y participar activamente en la sociedad en la que vivirán y en el cuidado del entorno natural y del planeta."
Parece claro que la LOMLOE no descuida los conocimientos ni la continuidad de un itinerario formativo, algo que observo comentar en Twitter a aquellos que atacan la inutilidad de las competencias y el abandono absoluto de los contenidos curriculares por parte de la nueva ley. En fin, resulta bastante evidente que las competencias deben desarrollarse sobre los conocimientos, es decir, contenidos curriculares, que por supuesto se asientan en la memoria de los estudiantes, sólo faltaría; el ser humano sin memoria deja de ser. La historia se repite, ya un filósofo griego decía que la inteligencia consiste no sólo en el conocimiento sino también en la destreza de aplicar los conocimientos en la práctica. ¿Y entonces por qué tanto lío? ¿En la transversalidad de las competencias? ¿En decirles a los docentes de la Educación Secundaria OBLIGATORIA que no son sólo enseñantes sino también educadores? Todavía hay quien afirma que a los niños y a los adolescentes se les educa en sus familias. ¡Qué viejo debate todavía no superado!
Una acepción de COMPETENCIA es "situación de empresas que rivalizan en un mercado ofreciendo o demandando un mismo producto o servicio". Algunos quizás se dejan llevar por esa definición y afirman que con la LOMLOE se pone al sistema educativo al servicio del mercado e incluso se atreven a decir que es un concepto de derechas que está ligado al mundo empresarial. Otra acepción de COMPETENCIA es "pericia, aptitud o idoneidad para hacer algo o intervenir en un asunto determinado". Esta acepción podría más o menos encajar con el concepto de COMPETENCIA EDUCATIVA pero también nos puede llevar al concepto de COMPETENCIA PROFESIONAL que sin duda alguna debe estar presente en un sistema educativo preocupado por la formación profesional de sus ciudadanos. ¡Qué lío de competencias! ¿Será tanta confusión un descuido o será intencionada?
Por otra parte algunos docentes de la Educación Secundaria OBLIGATORIA pueden llegar a pensar que las competencias educativas terminarán haciendo que desaparezcan sus asignaturas y defienden con uñas y dientes lo expertos que son de sus asignaturas y también, por qué no, de su didáctica. Sin ninguna duda esa especialización tanto académica como didáctica es absolutamente requerida en el Bachillerato, Formación Profesional y Universidad; y también, por qué no, en la ESO. Pero, ¡ojo! ¿cuál debe ser el perfil docente en la enseñanza secundaria obligatoria? Algunos de dichos docentes en sus críticas demoledoras olvidan el fin último de la enseñanza OBLIGATORIA y siguen empeñados en considerar el contenido curricular de sus asignaturas como un fin último. ¿Qué tipo de ciudadanos necesitamos en una sociedad democrática? ¿Uno que sepa factorizar un polinomio o que sepa quién fue el padre de Felipe II? Seguro que aquellos que defienden que el conocimiento debe ser un fin en sí mismo podrán reflexionar sobre estas preguntas, ¿no?
En algunos de mis tuits he insistido en las que para mí son las competencias educativas fundamentales de la enseñanza OBLIGATORIA:
• ᑕOᗰᑭOᖇTᗩᗰIEᑎTO honestidad
• ᑕOᗰᑌᑎIᑕᗩᑕIóᑎ
• ᕼIᔕTOᖇIᗩ standing upon the shoulders of giants
• ᑭEᑎᔕᗩᗰIEᑎTO ᗩᑎᗩᒪíTIᑕO Y ᖇEᖴᒪE᙭IᐯO.
Desde todas las áreas y asignaturas, vuelvo a insistir, todos los docentes de la enseñanza OBLIGATORIA juntos para lograr un mismo empeño: ciudadanos críticos que nunca dejarán de desarrollar el pensamiento analítico y reflexivo y para ello nunca deben alejarse de tres directrices básicas: comportamiento (valores y principios éticos), comunicación en todas sus formas e Historia de la Humanidad desde todos los ámbitos.
¡Ámbitos! En el diccionario de la RAE aparecen cuatro acepciones y ninguna parece encajar con este nuevo concepto pedagógico o curricular al que se refiere la LOMLOE como agrupación de áreas o asignaturas. En la LOMLOE la palabra "ámbitos" aparece 39 veces, una vez más con significados diferentes, y en lo referente a la educación primaria tan sólo se dice que "las áreas podrán organizarse en ámbitos" y en la educación secundaria OBLIGATORIA "las materias podrán integrarse en ámbitos". La polémica en Twitter viene fundamentalmente de la experiencia práctica en la Comunidad Valenciana cuya Administración educativa ha entendido este concepto de una determinada manera pues en el artículo 18 de la LOMLOE se le da dicha potestad.
"Las Administraciones educativas determinarán las condiciones específicas en que podrá configurarse una oferta organizada por ámbitos y dirigida a todo el alumnado o al alumno o alumna para quienes se considere que su avance se puede ver beneficiado de este modo."
Estoy seguro que si ponemos encima de la mesa las diferentes formas de entender este concepto llegaríamos a un acuerdo, ¿no?
Entro ahora en otro asunto muy polémico: las calificaciones. También he escrito en algunos de mis tuits el daño que hacen las notas y en esta carta quiero volver a insistir en el daño que hace calificar o clasificar a los alumnos lo que es consecuencia de una tradición escolar que favorece el individualismo y que ha olvidado el trabajo colaborativo estudiantil. Sobre esto también hay mucho que reflexionar, ya me están pitando los oídos de los defensores de la sana competencia fundamento de nuestra sociedad consumista. Y así el ser humano sigue siendo incapaz de deshacerse de la rivalidad que llega a crear fanáticos empedernidos. El problema de las calificaciones, simplificación de la evaluación del aprendizaje de los alumnos (parte de la evaluación educativa), no es sólo que los alumnos se comparan o se resignan a formar parte del grupo de los tontos de la clase sino que el objetivo fundamental de los alumnos no es APRENDER, por mucho que algunos se empeñen en creer lo contrario, sino aprobar o incluso para los alumnos brillantes sacar sobresaliente y harán cualquier cosa por lograrlo incluso hacer trampas y así tendremos una sociedad de ciudadanos que en la escuela habrán aprendido a ser deshonestos.
¡Promocionar o titular con asignaturas suspensas! Algunos docentes, y no sólo docentes, se echan las manos a la cabeza argumentando que la LOMLOE descuida el esfuerzo de los alumnos, ¡ya estamos con los descuidos! El problema de los legisladores de la LOMLOE y leyes educativas anteriores que ya hablaban de las competencias educativas es que nunca se han atrevido a quitar las notas pues han sido siempre muy conscientes de que una evaluación cualitativa es absolutamente imposible si un docente tiene cientos de alumnos. Y claro está si en un sistema educativo conviven dos marcos mentales siempre pesará más el que estaba previamente implantado, es decir, en nuestro caso, las calificaciones. Y seguiremos hablando de aprobar y suspender, ¡y así no avanzamos! ¿Seremos alguna vez capaces de cambiar de marco mental? ¿Quién niega el esfuerzo? El problema no es suspender versus aprobar con o sin esfuerzo, se trata de aportar los recursos materiales y humanos necesarios para dotar de los refuerzos y apoyos que TODOS los alumnos con más o menos dificultades de aprendizaje necesitan para poder aprender siempre de sus errores. Ya lo decía también otro filósofo griego: “todo puede conseguirse con esfuerzo, incluso la virtud”.
¿Cómo se evalúan las competencias educativas? En 1898 Lord Kelvin calculó que el oxígeno en la Tierra se agotaría pasados cuatro siglos. ¡Se equivocó! No se puede ser categórico si los datos disponibles para hacer los cálculos son limitados. Y suya parece ser la siguiente afirmación que algunos investigadores en Pedagogía o científicos de la Educación han tomado como referencia: "Lo que no se define no se puede medir. Lo que no se mide, no se puede mejorar. Lo que no se mejora, se degrada siempre". ¿Lo dicho por Lord Kelvin se ajusta a la ciencia de la Educación? ¿Es lo mismo medir que evaluar? ¿Es posible en el ámbito de la enseñanza y aprendizaje mejorar sin necesidad de medir/evaluar? Éste es un análisis muy complejo en el que tampoco voy a entrar en esta carta.
Y para terminar no quiero dejar de responder a la pregunta del comienzo de mi carta: ¿superar cualquier sesgo cognitivo son contenidos o son competencias? La descripción de los sesgos cognitivos de los seres humanos sería un ejemplo de contenido curricular que podría estudiarse en asignaturas como Filosofía o Psicología, por cierto, posiblemente optativas. Sin embargo superar cualquier sesgo cognitivo debe ser una competencia a desarrollar por todos los docentes de la educación OBLIGATORIA en todas sus áreas o asignaturas tratando en definitiva de desarrollar el pensamiento analítico y reflexivo.
PD El 22 de junio de 2020 me despedía de mis alumnos con la siguiente cartaen mi blog:
Por cierto, tengo que reconocer que me ha quedado una carta muy helenística. A día de hoy sigo solo en una esquina del ágora (Twitter). Y si os acercáis por favor no os pongáis delante que me tapáis el sol.
¡Buen verano, que paren este trasto que me quiero apear en la próxima estación!
¿Cómo saber si tres puntos distintos en el plano están alineados?
¿Trabajarías aspectos teóricos y prácticos del teorema de Menelao y su demostración en la ESO?
Yo sí, claro, ¿y tú?
Propuesta de actividad para la clase de Matemáticas de 4º de ESO con una construcción GEOGEBRA que no puedo llevar a la práctica pues ya no estoy en activo y tampoco salió el Taller de Matemáticas.
La respuesta obvia a la pregunta sería trazar la recta que une dos de esos puntos y comprobar que el tercero está en dicha recta. En Geometría se traza una recta con una regla y cómo se hace en Topografía. Observando la figura resulta que el enunciado de la pregunta ha olvidado decir que entremedias de los puntos hay unos obstáculos que impiden trazar dicha recta.
Casilla de controlRectas
Vamos entonces a trazar tres rectas evitando los obstáculos. Os preguntaréis por qué, en breve lo sabremos. Ahora, una pregunta: ¿de qué manera trazamos dichas rectas, en qué orden?
Casilla de controlPuntos de intersección
Marcamos ahora los puntos de intersección de dichas rectas y observamos los diferentes segmentos que se han formado.
Casilla de controlTeorema de Menelao
Hemos trazado esas tres rectas porque queremos aplicar el teorema de Menelao que establece una condición necesaria y suficiente para que tres puntos distintos en el plano estén alineados. Aquí podemos hacer un paréntesis o no para comentar la importancia en Matemáticas de la proposición implicativa. p ⇒q (si p entonces q). La proposición p se dice antecedente o hipótesis y la proposición q de dice consecuente o tesis. Decimos que la proposición consecuente es condición necesaria de la proposición antecedente y también que la proposición antecedente es condición suficiente de la proposición consecuente. ¡Aquí lo dejo! ¿Se debe hablar de estas cuestiones básicas de las Matemáticas en 4º de ESO?
Casilla de controlMedir
Medimos ahora las longitudes de los segmentos que aparecen en el teorema de Menelao. Como todos sabéis, o deberíais saber, medir supone acordar una unidad de medida y otro hecho que no podemos obviar es que las medidas serán, en la mayoría de los casos, números aproximados. ¿Cómo se mide en Geometría? ¿Y en Topografía?
Casilla de controlComprobar
Hacemos las operaciones y comprobamos que se cumple la igualdad.
Casilla de controlDemostración
Y llegados a este punto, pregunto: ¿se deben hacer demostraciones en la clase de Matemáticas? Ahora es cuando un profesor de Matemáticas debe decidir si explicar o no con el debido entusiasmo y énfasis la demostración del teorema de Menelao.
Casilla de controlProposición recíproca
No olvidemos que el teorema de Menelao es una proposición de doble implicación y sólo hemos demostrado una de ellas que podemos llamar proposición directa. Faltaría entonces demostrar la proposición recíproca, ¿alguien se atreve? Por cierto, es la que hemos usado para afirmar que los tres puntos están alineados.
Hoy miércoles, 13 de octubre de 2021 tenemos una primera reunión para informar sobre el TALLER DE MATEMÁTICAS.
¿Cómo se te dan las Matemáticas? Da
igual, en este taller podrás estimular tu talento matemático en un ambiente de resolución de problemas mediante el trabajo
colaborativo. Las Matemáticas son bellas, divertidas y útiles para
COMPRENDER el mundo y desarrollar el PENSAMIENTO ANALÍTICO y REFLEXIVO. Para poder RESOLVER PROBLEMAS cada vez más
difíciles es fundamental ACUMULAR
CONOCIMIENTO.
“Si he visto más lejos es porque estoy
sentado sobre los hombros de gigantes”. Isaac Newton
"En Matemáticas, el arte de HACER PREGUNTAS es más valioso que
resolver problemas". Georg Cantor
"Nunca desanimes a una persona que
progresa continuamente, no importa lo lento que vaya" Platón
Hasta los grandes pensadores necesitan
tiempo para resolver problemas e incluso meten la pata. En una conversación
matemática, alguien sugirió a Grothendieck que debería considerar un número
primo particular. “¿Te refieres a un número concreto?”, contestó Grothendieck.
La otra persona replicó “Sí, un número primo concreto”. Grotendieck sugirió:
“De acuerdo, tomemos el 57”.
“Dos cosas son infinitas: la estupidez
humana y el universo; y no estoy seguro de lo segundo”. Albert Einstein
“Todo ser humano, si se lo propone,
puede ser escultor de su propio cerebro” Santiago Ramón y Cajal
Las sesiones serán de hora y media cada dos
semanas, los miércoles de 17:00 a 18:30. La próximasesión
será el próximo miércoles 27 de octubre.
Calendario (16 sesiones)
27/10/21
10/11/21
24/11/21
15/12/21
12/01/22
26/01/22
09/02/22
23/02/22
09/03/22
23/03/22
06/04/22
20/04/22
04/05/22
18/05/22
01/06/22
15/06/22
Podemos COMPARTIR EN TWITTER nuestras dudas, avances y comentarios sobre los problemas propuestos con la etiqueta #talleriprmat. Y además si las restricciones sanitarias antiCOVID19 no permitieran las reuniones presenciales se podría tener sesiones virtuales en el equipo "Taller de Matemáticas" de Microsoft Teams donde, por cierto, deberemos cumplimentar un formulario de evaluación inicial con sólo dos preguntas compuestas:
¿Cuál es ahora mismo tu percepción de las Matemáticas? ¿Cómo se te dan? Pon un ejemplo detallado de lo
que sabes de Matemáticas.
¿Por qué te has apuntado a este Taller de Matemáticas? ¿Cómo te has enterado? ¿Algún
comentario o duda sobre la reunión informativa? ¿Qué esperas encontrar en este
Taller de Matemáticas?
Problemas propuestos para la primera sesión (27/10/21):
1.- ¿Cuántas parejas de números enteros
consecutivos tienen un producto menor que 100? ¡Atento al enunciado!
2.- ¿De cuántas maneras se puede
expresar un número natural como producto de dos? ¡Ojo con el enunciado! ¿Dos
qué? ¿Cuántos divisores positivos tiene un número entero positivo? Pista: usa
la factorización en números primos y empieza probando con algunos ejemplos: 8, 12, 36 y 60.
3.- Revisión de un problema clásico que
algunos relacionan con Einstein: “la mayor toca el piano”.
Dos amigos se encuentran
después de mucho tiempo y empiezan a contarse sus vidas.
¡No me digas que te has casado
ya!
Pues sí y tengo 3 preciosas
hijas.
¡Con 3 hijas ya! ¿Qué edades
tienen?
Pues mira, el producto de sus
edades es 36 y su suma coincide con el número del portal de la casa donde
vivías cuando íbamos al colegio.
El amigo se queda pensando un
minuto y finalmente dice
Me temo que con lo que has
dicho no puedo saberlo, necesito otro dato.
Tienes razón, la mayor toca el
piano.
4.- El carcelero loco
En una cárcel hay 100 celdas
numeradas del 1 al 100.
El carcelero loco primero
recorre todas las celdas y las va abriendo una por una, de la 1 a la 100.
Empieza de nuevo y cierra todas
las celdas con número par, es decir, las cambia de estado.
Otra vuelta empezando en la
celda número 3 y saltando de 3 en 3 y cambia el estado de esas celdas.
Otra vuelta empezando en la celda
número 4 y saltando de 4 en 4 y cambia el estado de esas celdas.
En la siguiente vuelta hace lo
mismo con las celdas cuyo número es un múltiplo de 5.
Y así sucesivamente, el
carcelero loco continúa con este procedimiento hasta llegar a la vuelta
número 100.
¿Qué puertas quedarán abiertas cuando
finalice el proceso?
5.- ¿Cuál es la paridad del número
de divisores de 17738?
En todo debate sobre un sistema educativo es absolutamente imprescindible discernir entre
ENSEÑANZA OBLIGATORIA
ENSEÑANZA NO OBLIGATORIA
Con esta charla quiero animar a estudiantes y docentes a REFLEXIONAR y DEBATIR sobre educación y en especial cuál debe ser el papel de las Matemáticas en la Enseñanza Obligatoria #LOMLOE #NuevoCurrículo
Resolución de los problemas propuestos en mi charla
"¿Por qué estudiar Matemáticas?"
Problema 1
Traza
una recta que divida a los dos rectángulos en dos partes con la misma área.
Empecemos por un problema más sencillo, sólo con un rectángulo y pensemos qué rectas lo dividen en dos partes con la misma área. Pensemos en alguna recta relevante, por ejemplo, la diagonal. Sabemos que la diagonal de un rectángulo lo divide en dos partes iguales. En Matemáticas decimos congruentes, es decir son semejantes, misma forma, y además, equivalentes, misma área; en este caso la razón de semejanza es 1. En algún momento de la Enseñanza Secundaria Obligatoria se estudia la semejanza de triángulos.
En el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Miguemáticas" se repasan los criterios de semejanza de triángulos, condiciones suficientes para que dos triángulos sean semejantes:
Observación 1: escucha con atención el anterior vídeo y coméntalo para poder mejorar.
Observación 2: ¡hay un cuarto criterio de semejanza de triángulos que algunos olvidan!
Volviendo a nuestro problema, los triángulos formados al trazar una diagonal de un rectángulo son congruentes, es decir, semejantes por el criterio de semejanza de triángulos AA, ¿puedes razonarlo? y además con la razón de semejanza igual a 1, ¿por qué? y consecuentemente son equivalentes, tienen la misma área.
Si giramos la diagonal respecto al centro del rectángulo la recta obtenida divide también al rectángulo en dos partes con la misma área. ¿Puedes razonarlo usando una vez más la semejanza de triángulos?
Así pues cualquier recta que pasa por el centro de un rectángulo lo divide en dos partes (cuadriláteros) con la misma área.
Por lo tanto como hay una sola recta que pasa por los centros de los dos rectángulos, acabamos de encontrar la recta que nos pide el problema. Si alguno de vosotros tiene espíritu matemático no se conformará con encontrar una solución. Los matemáticos siempre se preguntarán si hay más soluciones.
Problema 2
Dos
localidades A y B situadas en el mismo lado de un río deciden construir un
puente de forma que el gasto sea mínimo. ¿En qué punto P debemos construir el
puente?
Que el gasto sea mínimo significa que buscamos en el río un punto P tal que el camino de A a P y de P a B sea lo más corto posible, es decir, la suma de las longitudes PA + PB sea mínima. O sea, si consideramos las sumas de las longitudes QA + QB, siendo Q un punto cualquiera del río, buscamos la menor de dichas sumas. ¡Es un problema de optimización!
Convertimos el problema en otro problema equivalente cambiando la localidad B por el punto B’ punto simétrico de B respecto del río que en nuestro modelo es una recta.
¿Por qué es un problema equivalente? El triángulo BQB', siendo Q un punto cualquiera del río, queda dividido por la recta del río en dos triángulos congruentes o si lo preferís, iguales; es decir, semejantes de razón de semejanza igual a 1. Por tanto QB = QB' =>
QA + QB = QA + QB'
Así pues minimizar la suma QA + QB es lo mismo que minimizar la suma QA + QB'.
Por tanto, el punto P que buscamos para construir el puente es el punto de intersección del río y la recta que une A y B’, camino más corto entre dichos puntos.
Problema 3
Desde el vértice C de un cuadrado ABCD se traza un ángulo de 45 grados cuyos lados intersectan con los lados del cuadrado en los puntos P y Q. Halla el perímetro del triángulo PAQ, azul en la figura.
En primer lugar el enunciado del problema es ambiguo pues no especifica cómo se traza el ángulo de 45º y se presupone por tanto que es tal y como se ve en la figura, es decir, dejando en el cuadrado dos ángulos iguales a cada lado (*). Por otra parte, observad que el enunciado del problema no nos da medidas de ningún lado y nos pide hallar un perímetro. La mayoría de los alumnos dirán que faltan datos. ¿Qué es medir la longitud de un segmento? Necesitamos una unidad de medida… pues tomemos el lado del cuadrado como unidad de medida, así que la longitud del lado del cuadrado mide 1.
Y ahora apliquemos lo que hemos aprendido, construimos el triángulo simétrico del triángulo CBQ: el triángulo CBQ’, con dos lados rojos en la parte inferior de la figura de la izquierda. Es fácil demostrar que dichos triángulos son congruentes o si lo preferís, iguales. ¿Qué criterio de semejanza podemos utilizar? También el triángulo CBQ es congruente con el triángulo CDP. Por tanto PQ = QQ'. Llamemos x a la medida de la longitud del segmento
BQ
BQ = x, por tanto QQ’ = 2x y también PD = BQ, entonces veamos lo que miden los lados del triángulo PAQ que, por cierto, es rectángulo: el cateto PA = AD – PD = 1 – x el otro cateto QA = AB – BQ = 1 – x y la hipotenusa PQ = QQ' = 2x, y consecuentemente su perímetro es igual a (1 – x) + (1 – x) + 2x = 2. Es decir el perímetro del triángulo PAQ es el doble del lado del cuadrado.
(*) ¿Y si el enunciado no es ambiguo y no nos dejamos llevar por la figura?
La idea, que ha quedado desapercibida, es la misma: construir el triángulo CQQ' congruente al triángulo CPQ, así pues trazamos
la recta simétrica de CP respecto de CQ,
y como antes, sea x = BQ, pero ahora BQ' no tiene por qué ser igual a BQ como antes, así pues sea y = BQ'. Es interesante observar la variabilidad de x y consecuentemente de y: 0<x<1, 1>y>0, pues el punto Q varía sobre el lado del cuadrado desde el vértice A hasta el vértice B (ambos sin incluir pues nos quedamos sin triángulo azul) (*). Observa y demuestra que el punto Q' está en la prolongación del lado
AB
Por tanto, PQ = QQ' = QB + BQ' = x + y. Además, QA = AQ = AB - BQ = 1 - x. Y por otra parte, DP = BQ' = y, pues los triángulos CDP y CBQ' son congruentes, por tanto, AP = AD - DP = 1 - y. Por tanto, el perímetro del triángulo PAQ es igual a AP + PQ + QA = (1-y) +(x+y) +(1-x) = 2. Es decir el perímetro del triángulo PAQ es el doble del lado del cuadrado.
Observación: tenemos que aprender que en Geometría no debemos dejarnos llevar por la figura.
(*) En Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. En nuestro caso, por ejemplo, ¿qué relación hay entre x e y?
Problema 4
La mediana de un triángulo lo divide en dos triángulos con la misma área.
Los dos triángulos tienen sus bases de la misma longitud por definición de mediana y comparten la altura (observa en esta figura (*) que en un caso la altura es interior y en el otro es exterior), por tanto, los dos triángulos obtenidos al trazar la mediana tienen la misma área.
(*) ¿Hay algún caso en el que esta observación no ocurra?
Problema 5
Observa un cuadrado dividido en cuatro regiones que comparten un vértice, punto interior del cuadrado, desde el cual se han trazado segmentos a los puntos medios de los lados del cuadrado. Nos dan el área de las otras tres regiones. Halla el área de la región azul. ¿Y si fuera un cuadrilátero cualquiera? E incluso, ¿si fuera un polígono cualquiera de cuatro lados o más?
La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Academia Internet":
La solución puede generalizarse a un polígono cualquiera de cuatro lados o más pues observad que en ningún momento se ha usado que la región parcelada sea un cuadrado.
Problema 6
En un semicírculo se dibujan, tal y como se ve en la figura, triángulos isósceles semejantes. ¿Cuál es la razón entre el área del sector circular pintado de rosa y el área del semicírculo?
Ignacio Larrosa en su tuit del 10 de marzo de 2021 en respuesta a @diegorattaggi nos dice que es fácil ver que si los arcos son iguales, los triángulos son semejantes. ¿Lo veis?
Y recíprocamente, para dibujar triángulos isósceles semejantes con un lado en el diámetro y el vértice opuesto en una semicircunferencia y con los lados sobre el diámetro cubriendo todo el diámetro tal y como se ve en la figura el número de triángulos, n, tiene que ser par y los vértices estar distribuidos formando n+1 arcos iguales, uno más que el número de triángulos.
Veámoslo para n = 2
Los triángulos CDF y BEG son semejantes por construcción, ambos tienen un lado sobre el diámetro de la circunferencia y los otros dos lados son paralelos respectivamente. Por tanto, tienen sus tres ángulos iguales respectivamente. Pero, ¿son isósceles? Es evidente que no.
Tenemos que mover los puntos D y E sobre la semicircunferencia manteniendo el paralelismo de los lados hasta conseguir que los triángulos CDF y BEGsean isósceles. Observa que E es el punto simétrico de D respecto de la recta perpendicular al diámetro en el centro de la circunferencia.
Todavía falta que los lados sobre el diámetro lo cubran completamente:
Ocurre justo cuando los tres arcos CD, DE y EB son iguales.
Observación: ¡el problema no se acaba aquí!
Observemos con detenimiento la solución propuesta por Ignacio Larrosa y el mucho esfuerzo que hizo pero no suficiente pues en aquel momento se encontraba un poco vago:
En el caso de la figura del problema propuesto por Diego Rattagi el número de triángulos es n = 6. Por tanto tenemos n+1 = 7 sectores iguales y el área del sector circular rosa es la séptima parte del área del semicírculo. Así pues la razón pedida es 1/7. Y generalizando el problema, la razón será 1/(n+1).
Problema 7
1.- Expresa en castellano como se disponen los invitados.
Los invitados se disponen en los laterales libres de mesas cuadradas dispuestas en una fila de forma que se juntan dos laterales de las mesas quedando inutilizados. Cada vez se añade una mesa más.
2.- Dibuja el siguiente término.
3.- ¿Cuántos invitados podrán sentarse en 5 mesas?
Hagamos una tabla con el número de mesas y su correspondiente número de invitados.
Número
de mesas (x)
Número
de invitados (y)
1
4
2
6
3
8
4
10
5
¿?
Observamos que cada vez que añadimos una mesa podemos sentar a dos invitados más, por tanto en 5 mesas podrán sentarse 12 invitados.
4.- ¿Y en x mesas?
Hemos observado que el número de invitados se aumenta cada vez en 2, por lo tanto estamos ante una progresión aritmética de diferencia 2: y = 2x + b. (Previamente hay que trabajar el término general de una progresión aritmética). Para hallar b nos fijamos, por ejemplo, que el primer término es 4, o sea, si llamamos y al número de invitados, para x = 1 tenemos que y = 4 => 4 = 2·1 + b => b = 2 => y = 2x + 2
5.- ¿Cuántas mesas necesitaremos para 22 invitados?
Hemos encontrado la relación entre el número de invitados y el número de mesas, por tanto si y = 22 =>22 = 2x + 2=> 20 = 2x => x = 10 => Necesitaremos10 mesas
6.- ¿Cuántas mesas necesitaremos para y invitados?
Se trata de expresar x en función de y, así pues hacemos lo que vulgarmente llamamos despejar x, que es exactamente lo que hemos hecho en el apartado anterior pero en vez de con 22 con y:x = (y - 2) / 2
7.- ... Podemos observar que dependiendo del número de invitados el número de mesas no será un número entero positivo.
En efecto, para que el número de mesas x sea un número entero y, el número de invitados, tiene que ser un número par. O dicho de otra forma, si el número de invitados es impar entonces el número de mesas no será entero. ¿Puedes razonarlo?
Problema 8
Resuelve la ecuación irracional con un parámetro.
Observemos con detenimiento la solución propuesta por Ignacio Larrosa:
Las parábolas de la imagen han sido dibujadas con Geogebra, sus ecuaciones son:
x2-17x-y=0
x+17y-y2=0
Demuestra que los cuatro puntos de corte de dichas parábolas están en una misma circunferencia.
¡Un problema de Geometría Analítica! Se nos puede ocurrir resolver el sistema y entonces hallar los cuatro puntos de corte, después hallar la circunferencia que pasa por tres de ellos y comprobar que el cuarto pertenece a dicha circunferencia. ¡Un camino muy engorroso!
Veamos un camino más elegante: no es necesario resolver el sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones se dice equivalente a otro sistema de ecuaciones si tiene la misma solución. Es una relación binaria claramente SIMÉTRICA por lo que podemos emplear el plural: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.
Observad la transformaciónrealizada para obtener un sistema equivalente de ecuaciones:
E1: x2-17x-y=0Sustituir E1 por E1-E2
E2: x+17y-y2=0
E'1: x2-18x+y2-18y=0 (*)
E2: x+17y-y2=0
(*) Es la ecuación de una circunferencia: (x-9)2+(y-9)2-162=0
Observación:en Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. Podemos hacernos preguntas, no olvidemos la recomendación de Cantor: "En Matemáticas el arte de hacer preguntas es más valioso que resolver problemas".
¿Si dos parábolas se cortan en cuatro puntos o en menos, estarán éstos en una misma circunferencia?
Observando el procedimiento de resolución podemos preguntar
¿Y si cambiamos 17 por un parámetro a (a número real cualquiera)? Usa Geogebra y observa qué pasa al variar el parámetro a.
x2-ax-y=0
x+ay-y2=0
¿Nos atrevemos con dos parámetros?
x2-ax-by=0
bx+ay-y2=0
¿En todos los casos un punto de corte de las dos parábolas es el origen de coordenadas?
¿Qué pasaría si sustituimos E1 por E1+E2?
¡Haced vosotros más preguntas, ánimo!
Problema 10
¿Cuatro hombres con una linterna podrán cruzar, de noche, completamente a oscuras, un puente, que sólo soporta a dos personas a la vez, en 15 minutos sabiendo que los tiempos que tardan cada uno de ellos en cruzarlo son 1, 2, 5 y 8 minutos?
La solución de este clásico acertijo la podéis encontrar en Internet:
La cuenta de Twitter @GWOMaths, Great Women of Mathematics, nos propone cada día un problema sacado de uno de los muchos calendarios de Matemáticas que hay. Éste problema lo propuso el 27 de marzo de 2021:
¿Tendremos que elevar al cubo? ¡Camino muy engorroso! Fijémonos en un polinomio cualquiera p(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0¿Cuál es la suma de sus coeficientes?
an + an-1 + … + a1 + a0
¿Qué observamos? ¡Han desaparecido las partes literales, "las x"! Aquí está la clave, si hacemos x = 1, es decir, si hallamos el valor numérico del polinomio p(x) en x=1: p(1)
p(1) = an + an-1 + … + a1 + a0
Resulta que p(1) es la suma de los coeficientes del polinomio p(x).
¡Ya está! Este conocimiento lo aplicamos a nuestro problema, tan solo tenemos que sustituir la x por 1, así pues,(14+13-12+1+1)3
= 33 = 27
Problema 12
Tres amigos (digamos A, B y C) se pasan la tarde jugando al ping-pong con el método ‘el que pierde se va y entra a jugar el que está afuera’. Al acabar la tarde, las cantidades de partidos que jugó cada uno fueron las siguientes: A jugó 10 partidos, B jugó 15 partidos y C jugó 17 partidos. ¿Quién perdió el segundo partido?
La solución de este problema propuesto por Adrián Paenza la podéis encontrar en Internet:
Halla un número de cuatro cifras, cuadrado perfecto, con todas sus cifras menores que 9 tal que si a cada cifra se le suma 1, el número resultante es también cuadrado perfecto.
Es fácil encontrar el primer cuadrado perfecto de cuatro cifras, todas menores que 9: 322=1024 y si a cada cifra le sumamos 1 obtenemos 2036 que no es un cuadrado perfecto. Podemos usar una hoja de cálculo para encontrar los siguientes cuadrados perfectos... ¡la cuenta de la vieja, con ordenador, un camino engorroso!
Pensemos en otro camino: las posibles cifras de las unidades de un cuadrado perfecto son 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Como tenemos que sumar 1 y obtener un cuadrado perfecto entonces el cuadrado perfecto que estamos buscando terminará en 0, o en 4, o en 5. ¡Todavía son demasiados, camino también engorroso!
Pensemos en otro camino más elegante: el problema es equivalente a resolver la ecuación diofántica x2+1111=y2 => y2-x2=1111 => (y+x)(y-x)=1111 Buscamos una factorización de 1111, exactamente queremos expresar 1111 como producto de dos números enteros positivos. ...¡y de sólo dos cifras pues su cuadrado tiene que ser un número de cuatro cifras! 1111 es divisible por 11 ¿Recuerdas las reglas de divisibilidad?
=> 1111:11=101 y 101 es un número primo, ¿por qué?, por tanto 1111 se factoriza como 1·1111, 1111·1, 101·11 y 11·101 (ésta se conoce como factorización en primos). Observad que si x>0 => y+x>y-x por tanto descartamos las factorizaciones en las que el primer factor, y+x, es más pequeño que (es menor que) el segundo factor, y-x. En lenguaje matemático escribimos: y+x<y-x. Y además también descartamos la segunda factorización, 1111·1, porque x e y tienen que tener sólo dos cifras. Aunque no es necesario si queréis podéis resolver el sistema de ecuaciones lineales y+x=1111 e y-x=1. Así pues la única factorización posible es 1111=101·11=> y+x=101 e y-x=11 => x=45 e y=56 => 452=2025 y 562=3136. Solución: 2025
Observación 1: en Matemáticas, un problema puede dar lugar a otro problema. En nuestro caso, por ejemplo, ¿de cuántas formas se puede expresar un número entero positivo como producto de dos números enteros positivos? Parece evidente que depende del número de números primos en su factorización de números primos.
Observación 2: Puig Adam escribió en 1955 un decálogo de la Didáctica de la Matemática que todos los profesores de Matemáticas deberían conocer.
Observación 3: gracias a Jesús Silva-Herzog Márquez, periodista y escritor mexicano, miembro de la Academia Mexicana de la Lengua, por enseñarnos el artículo "La mejor respuesta al fanatismo: el liberalismo" de Bertrand Russell en la revista del New York Times del 16 de diciembre de 1951. ¡El New York Times tiene el acceso restringido!
¿Qué preguntas haríais si os dicen que la probabilidad de que una vacuna te produzca un efecto secundario grave en las primeras semanas es prácticamente nula o que la probabilidad de que un rayo impacte contra una persona es de uno entre un millón?
Un experimento aleatorio se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones. No debemos olvidar que las condiciones iniciales de un experimento aleatorio afectan a las probabilidades de sus sucesos aleatorios. En el experimento aleatorio "lanzar una moneda al aire, dejarla caer al suelo y observar la cara superior" cuyo espacio muestral está formado sólo por dos sucesos aleatorios: "sacar cara" y "sacar cruz", presuponemos que es REGULAR, ¡qué confiados, así nos podrán fácilmente engañar! ¡Dependerá de la moneda que usemos!
El experimento aleatorio "una vacuna te produzca un efecto secundario grave o no en las primeras semanas" está definido de forma ambigua y además no parece que se pueda repetir indefinidamente y tampoco está muy claro que se pueda hacer siempre en las mismas condiciones.
El experimento aleatorio "un rayo impacte contra una persona o no" se repite cada vez que hay una tormenta ...
Problema 15
¿Cuál es la probabilidad de acertar 6 números en “La Primitiva"?
La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de contenido matemático "Canal mistercinco":
Problema 16
Cuenta la leyenda que Hieron II de Siracusa entregó una pieza de oro puro a un orfebre para que le hiciera una corona. El día de su entrega al rey le entró una gran duda, ¿y si el orfebre le estaba engañando y había sustraído una parte de su oro y lo había cambiado por otro material menos valioso de forma que conservara su peso? ¿Cómo calcular la densidad de la corona?
La solución la tenéis en el siguiente vídeo del canal Youtube de Luis Carlos Galán
No me olvido, os dejo con la charla que dio Clara Grima con motivo del Día Internacional de las Matemáticas, el pasado 14 de marzo de 2021 con el lema "Matemáticas para un mundo mejor":
Con esta charla para el día escolar de las Matemáticas, 12 de mayo de 2021, terminará mi aventura, animando a mis
exalumnos y otros que ya no lo serán a acercarse sin miedo a las Matemáticas.
¿Por qué me jubilé? ¡Maldito coronavirus! 😅😅😅
