Matemáticas para el confinamiento

¡Es muy instructivo ver cómo, en varias ocasiones, se equivoca, se percata de su error y lo corrige! ¡Concentración y revisión!

Pasatiempo matemático: patrones y sucesiones

http://www.visualpatterns.org/

Pasatiempo matemático: ¡a contar!

Grupo 1: Números cuadrados perfectos de tres cifras

100	121	144	169	196
225	256	289	324	361
400	441	484	529	576
625	676	729	784	841
900	961

Grupo 2: Números cubos perfectos de tres cifras

125

216

343

512

729

Grupo 3: Números primos de tres cifras
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 y 997

Ejercicio:

1. Elabora una HOJA DE CÁLCULO para hallar los números anteriores de los grupos 1 y 2.
2. Consulta en la wikipedia los números primos menores que 1000.
   Números primos 
3. Completa la siguiente tabla de forma que se cumplan las siguientes 4 restricciones:
• En la primera fila coloca un número del grupo 1.
• En la tercera fila coloca un número del grupo 2.
• En las dos columnas coloca un número del grupo 3.
• Sólo se pueden usar las cifras decimales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.



Hay muchas soluciones. ¿Sabrías decir cuántas?
¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3?
¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por la cifra de las unidades de un número cuadrado perfecto de tres cifras?
• ¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por 1?
• ¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por 4?
• ¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por 5?
• ¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por 6?
• ¿Cuántos números primos de tres cifras acaban en 3 y comienzan por 9?
4. Ahora podemos volver a la pregunta 4: ¿cuántas soluciones hay?

Una solución sin la cuarta restricción:

1	2	1
0		0
7	2	9

Consolidar

Ejercicios

1.- Enuncia y demuestra el teorema de Pitágoras, los teoremas de la altura y de los catetos. Y aplica el que corresponda para resolver el siguiente problema: en un triángulo rectángulo los catetos miden 8 y 15 m. ¿Cuánto miden los segmentos que se crean en la hipotenusa al trazar la altura relativa a dicha hipotenusa?

Ayuda: observa tres triángulos rectángulos semejantes.
Observación: ¿se puede decir que tres triángulos son semejantes?
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

2.- Halla los ángulos, los lados y el área del triángulo coloreado sabiendo que el lado del hexágono mide 10 cm.

3.- Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 14 cm de arista lleno de agua y después se retira.

a) ¿Qué cantidad de agua se ha derramado?

b) Haz un dibujo del recipiente y la bola en su interior.
c) ¿Se cumple el principio de Arquímedes?
d) ¿Qué altura alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola?

4.- Halla la superficie (*) y el volumen del siguiente cuerpo geométrico. ¿Es un poliedro convexo? Comprueba que cumple la fórmula de Euler.

(*) Necesitarás la fórmula de Heron.

5.- Llamamos T a la traslación de vector v(5, 2) y S a la simetría de eje e. Obtén la transformada de la figura F mediante T seguido de S. Observación: usa papel cuadriculado y también lo puedes hacer con GEOGEBRA.

https://www.geogebra.org/classic?lang=es 

Desarrolla tu creatividad artística dibujando tapices que usan los movimientos del plano y elige una de tus creaciones para subirla a tu blog:
https://mathigon.org/course/transformations/symmetry-groups#drawing

Para saber más:

• Grupos de isometrías de los mosaicos
  http://geogebra.es/cvg/15/informacion/mosaicos.html
• Mati, una profesora muy particular: mosaicos periódicos
  https://blogs.20minutos.es/mati-una-profesora-muy-particular/tag/mosaicos-periodicos/ 

International Arts Education Week

• https://es.unesco.org/node/324329 

Recuperar y consolidar

Ejercicios

1.- Aproxima a las décimas 37,9532.

2.- De un depósito de agua se saca la cuarta parte, y después, la sexta parte del resto, quedando aún 40 litros. ¿Cuál es su capacidad?

3.- Halla, sin calculadora, factorizando el radicando, la raíz cuadrada de 11025.

4.- El número de habitantes de una ciudad ha descendido el 0,9% en el último año. Si la población actual es de 250000 personas, ¿cuál era el número de habitantes el año pasado?

5.- La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cada uno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días, ¿cuántos miligramos debe tomar el enfermo durante todo el tratamiento?

6.- Factoriza x³ + 4x² + 4x.

7.- Si a un número se le quita la mitad y luego su tercera parte se obtiene 9. ¿Cuál es ese número?

8.- Daniel pagó un día por 3 hamburguesas y 2 refrescos 6,3 €. Otro día, por 2 hamburguesas y 4 refrescos pagó 6,6 €. ¿Cuál es el precio de una hamburguesa? ¿Y el de un refresco?

9.- Determina la expresión analítica del importe (l) de la factura de un fontanero en función del tiempo (t) invertido en la reparación, sabiendo que cobra 30 € por el desplazamiento más 15 € por cada hora de trabajo. Dibuja la gráfica de dicha función. ¿De qué tipo es?

10.- Un depósito contiene 240 l de agua y recibe el caudal de un grifo que aporta 9 l por minuto. Un segundo depósito contiene 300 l y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 l por minuto. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que ambos depósitos tengan la misma cantidad de agua? Resuelve el problema de dos formas, analíticamente y gráficamente.

11.- El gasto anual de una empresa por la fabricación de x ordenadores viene dado por la función G(x) = 20000+250x y los ingresos que se obtienen por las ventas vienen dados por la función I(x) = 600x - 0,1x². ¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que la empresa tenga beneficios? ¿Y para que el beneficio (ingresos - gastos) sea máximo? Resuelve el problema de dos formas, analíticamente y gráficamente.

Seguimos confinados

En las instrucciones de 17 de abril y de 15 de mayo (hoy mismo) de la Consejería de Educación de la Junta de Castilla y León sobre la EVALUACIÓN FINAL DEL CURSO ACADÉMICO 2019-2020 se plantean procedimientos de carácter excepcional: 

El alumnado deberá mantener diariamente una rutina y unos hábitos de estudio en sus domicilios a través de la realización de las tareas y pruebas propuestas. Si los docentes lo estiman oportuno, podrán realizar pruebas excepcionales no presenciales que podrán ser configuradas a través de la realización de trabajos, proyectos o tareas específicas que permitan al alumnado adquirir los objetivos y competencias imprescindibles que favorezcan su progreso en el sistema educativo.

Las tareas, trabajos, actividades o pruebas a desarrollar durante este tercer trimestre se definirán en base a tres niveles sucesivos, que se tendrán en cuenta posteriormente para la evaluación final:

• Recuperación de los aprendizajes trabajados y no adquiridos en los trimestres anteriores.
• Consolidación de los aprendizajes vinculados a los contenidos esenciales establecidos en las adaptaciones de las programaciones didácticas para este tercer trimestre.
• Avance en los aprendizajes vinculados a los contenidos curriculares trabajados íntegramente de forma no presencial.

En la valoración global del alumnado se tendrán fundamentalmente en consideración los resultados de las dos primeras evaluaciones y, a partir de ellos, se valorarán de forma positiva todas las actividades y pruebas realizadas por el alumnado durante el tercer trimestre.

De acuerdo con lo acordado en la Comisión de Coordinación Pedagógica y aprobado en el Claustro, la calificación final de cada materia se obtendrá de la siguiente manera:

Tras haber realizado las recuperaciones de las dos primeras evaluaciones, se obtendrá la nota media de la primera y la segunda evaluación. La media de las dos evaluaciones se mejorará hasta un 10%, en función del trabajo realizado en la tercera evaluación.

Nota Final = Media de las dos primeras evaluaciones + 10% nota del tercer trimestre

Por tanto, recuperamos, consolidamos y avanzamos.

1. Recuperación: ¿quiénes tienen que recuperar la primera y/o la segunda evaluación?
2. Consolidación: actualizar vuestro diario con las actividades propuestas de GEOMETRÍA.
3. Avance: empezamos el tema 13 del libro de texto.
• Lectura comprensiva de dicho tema
• Realización de la siguiente actividad: Movimientos en el plano
• Realización de la siguiente actividad: Movimientos en el plano con Geogebra

MEDIR longitudes, áreas y volúmenes

Vamos a estudiar con detalle todas las fórmulas recopiladas en esta página web:

http://3con14.com/geometr%C3%ADa/72-02-geometr%C3%ADa-del-espacio/55-e-%C2%B7-cuerpos-geom%C3%A9tricos-f%C3%B3rmulas.html

Ejercicios

1.- Calcula el área de un prisma recto pentagonal regular cuyas aristas miden, todas, 10 cm. Observación: la relación entre el radio R y el lado L de un pentágono regular es aproximadamente

R ≈ 0,85L

2.- Calcula el área de un dodecaedro regular de arista 10 cm. 

3.- Un dependiente envuelve una caja de zapatos de dimensiones 30, 18 y 10 cm con un trozo de papel. ¿Qué cantidad de papel ha utilizado si un 15% del envoltorio ha quedado solapado sobre sí mismo?

4.- Truncamos un cubo tal y como se ve en la siguiente figura. Calcula el área y el volumen de la pirámide triangular obtenida.

5.- Calcula el área y el volumen de la siguiente figura geométrica:

6.- Calcula el área y el volumen de la siguiente figura geométrica:

7.- Halla el radio, la superficie y el volumen de la Tierra (suponiendo que es una esfera).

8.- VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE: Realiza el siguiente ejercicio, antes de ver su solución en el vídeo, ¡páralo en el segundo 26!:

Geometría espacial

¡Comenzamos el tema 12 del libro de texto!

FIGURAS EN EL ESPACIO

Ejercicio 1: ¿De esos once cuerpos geométricos, cuáles son POLIEDROS CONVEXOS y cuáles son CUERPOS DE REVOLUCIÓN?

• POLIEDRO CONVEXO: cuerpo geométrico formado por caras planas que son polígonos.y no tiene recovecos ni agujeros.
• PRISMA: poliedro convexo limitado por 2 caras paralelas que son polígonos congruentes (por abuso, solemos decir iguales) llamadas bases y caras laterales que son paralelogramos. Se le pondrá un adjetivo al prisma en función de los polígonos de las bases, por ejemplo, PRISMA PENTAGONAL es un prisma cuya base es un pentágono. ¿Cómo se llama un prisma cuyas bases son cuadriláteros? (*) Un caso particular: PARALELEPÍPEDO:  prisma cuyas bases son paralelogramos.

(*) Observación: ¿cómo se forman los adjetivos derivados de un sustantivo?

Sustantivo	Adjetivo	Nombre especial
Triángulo	Triangular
Cuadrilátero	Cuadrangular
Rectángulo	Rectangular	PARALELEPÍPEDO
Cuadrado	Cuadrado	PARALELEPÍPEDO
Paralelogramo		PARALELEPÍPEDO
Pentágono	Pentagonal

• PRISMA RECTO: prisma cuyas caras laterales son rectángulos. Caso particular: un prisma recto cuyas bases también son rectángulos se llama ORTOEDRO.
• PRISMA REGULAR: prisma cuyas bases son polígonos regulares.
• PRISMA OBLICUO: prisma que no es recto.
• ANTIPRISMA: poliedro convexo limitado por 2 caras paralelas, que son polígonos iguales, llamadas bases y caras laterales que son triángulos.
• PIRÁMIDE: poliedro convexo con una cara, un polígono cualquiera, llamada base y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común. Se le pondrá un adjetivo a la pirámide en función del polígono de la base, por ejemplo, PIRÁMIDE PENTAGONAL es una pirámide cuya base es un pentágono.
• PIRÁMIDE RECTA: pirámide en la que la proyección ortogonal del ápice sobre la base coincide con su centroide.
• PIRÁMIDE REGULAR: pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este caso el centroide es el centro.
• PIRÁMIDE OBLICUA: pirámide que no es recta.

En un poliedro podemos distinguir: caras, aristas y vértices.

Sea C el número de caras de un poliedro.

Sea A el número de aristas de un poliedro.

Sea V el número de vértices de un poliedro.

Fórmula de Euler para poliedros convexos:                        C – A + V = 2
Esta igualdad se puede escribir de otras formas:                    V – A  + C = 2
O también:                                                                                       C + V = A + 2

Demostración: http://www.archimedestub.com/2018/11/26/la-formula-de-euler/

Ejercicio 2: Escribe una tabla para comprobar que la fórmula de Euler se verifica en diferentes poliedros convexos.

	Caras (C)	Aristas (A)	Vértices (V)	C + V = A + 2

• POLIEDRO REGULAR: poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de caras.
  Sólo hay 5:
• Tetraedro (4 caras, triángulos equiláteros).
• Hexaedro o cubo (6 caras, cuadrados).
• Octaedro (8 caras, triángulos equiláteros).
• Dodecaedro (12 caras pentágonos regulares).
• Icosaedro (20 caras, triángulos equiláteros).

• POLIEDRO SEMIRREGULAR: poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. y en cada vértice concurre el mismo número de caras. por ejemplo, un prisma pentagonal con caras laterales cuadrados.
• POLIEDRO ARQUIMEDIANO: Arquímedes, aunque no hay ninguna prueba documental que lo acredite, estudió 13 poliedros semirregulares. Para saber más:
  http://historiasdematematicas.blogspot.com/2016/03/poliedros-o-solidos-arquimedianos.html 

Ejercicio 3: Investiga sobre la vida y obra de Arquímedes.

Ejercicio 4: Clasifica el siguiente cuerpo geométrico cuyas caras son cuadrados y triángulos equiláteros. ¿Es un poliedro semirregular?

Ejercicio 5: Publica en tu blog una entrada con los cinco poliedros regulares también llamados sólidos platónicos. ¿Por qué se llaman así? ¿Y por qué sólo hay 5? ¿De dónde reciben el nombre los sólidos arquimedianos?

• CUERPO DE REVOLUCIÓN: cuerpo geométrico formado al girar una figura plana alrededor de un eje (recta).   
• CILINDRO.
• CONO.
• ESFERA.
• ¡Ojo con el eje que elegimos! Podemos obtener figuras espaciales muy sorprendentes.

Ejercicio 6:

• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CILINDRO?
• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CONO?
• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un ESFERA?

¡Decir que un cuerpo geométrico  no tiene recovecos ni agujeros no es muy matemático!

Un cuerpo geométrico se dice CONVEXO si el segmento determinado por dos puntos cualesquiera que pertenezcan a él está completamente contenido en él. Observa que los poliedros convexos los puedes dejar en una mesa (plano) apoyados sobre cualquiera de sus caras. O dicho de otra forma, el plano de cualquiera de sus caras no corta a ninguna otra cara.

Ejercicio 7: ¿Los cuerpos de revolución son convexos?

Ejercicio 8: ¿Qué es TRUNCAR un cuerpo geométrico en el espacio? Pon cuatro ejemplos diferentes. ¿Si truncamos un cuerpo geométrico convexo se obtiene siempre otro cuerpo geométrico convexo (o mejor dicho, dos, por cada truncamiento)?

Se te podría ocurrir hacer la siguiente pregunta: ¿Hay más poliedros convexos?

"En Matemáticas el arte de HACER PREGUNTAS es más valioso que resolver problemas" GEORG CANTOR