Geometría espacial

¡Comenzamos el tema 12 del libro de texto!

FIGURAS EN EL ESPACIO

Ejercicio 1: ¿De esos once cuerpos geométricos, cuáles son POLIEDROS CONVEXOS y cuáles son CUERPOS DE REVOLUCIÓN?

• POLIEDRO CONVEXO: cuerpo geométrico formado por caras planas que son polígonos.y no tiene recovecos ni agujeros.
• PRISMA: poliedro convexo limitado por 2 caras paralelas que son polígonos congruentes (por abuso, solemos decir iguales) llamadas bases y caras laterales que son paralelogramos. Se le pondrá un adjetivo al prisma en función de los polígonos de las bases, por ejemplo, PRISMA PENTAGONAL es un prisma cuya base es un pentágono. ¿Cómo se llama un prisma cuyas bases son cuadriláteros? (*) Un caso particular: PARALELEPÍPEDO:  prisma cuyas bases son paralelogramos.

(*) Observación: ¿cómo se forman los adjetivos derivados de un sustantivo?

Sustantivo	Adjetivo	Nombre especial
Triángulo	Triangular
Cuadrilátero	Cuadrangular
Rectángulo	Rectangular	PARALELEPÍPEDO
Cuadrado	Cuadrado	PARALELEPÍPEDO
Paralelogramo		PARALELEPÍPEDO
Pentágono	Pentagonal

• PRISMA RECTO: prisma cuyas caras laterales son rectángulos. Caso particular: un prisma recto cuyas bases también son rectángulos se llama ORTOEDRO.
• PRISMA REGULAR: prisma cuyas bases son polígonos regulares.
• PRISMA OBLICUO: prisma que no es recto.
• ANTIPRISMA: poliedro convexo limitado por 2 caras paralelas, que son polígonos iguales, llamadas bases y caras laterales que son triángulos.
• PIRÁMIDE: poliedro convexo con una cara, un polígono cualquiera, llamada base y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común. Se le pondrá un adjetivo a la pirámide en función del polígono de la base, por ejemplo, PIRÁMIDE PENTAGONAL es una pirámide cuya base es un pentágono.
• PIRÁMIDE RECTA: pirámide en la que la proyección ortogonal del ápice sobre la base coincide con su centroide.
• PIRÁMIDE REGULAR: pirámide recta cuya base es un polígono regular. En este caso el centroide es el centro.
• PIRÁMIDE OBLICUA: pirámide que no es recta.

En un poliedro podemos distinguir: caras, aristas y vértices.

Sea C el número de caras de un poliedro.

Sea A el número de aristas de un poliedro.

Sea V el número de vértices de un poliedro.

Fórmula de Euler para poliedros convexos:                        C – A + V = 2
Esta igualdad se puede escribir de otras formas:                    V – A  + C = 2
O también:                                                                                       C + V = A + 2

Demostración: http://www.archimedestub.com/2018/11/26/la-formula-de-euler/

Ejercicio 2: Escribe una tabla para comprobar que la fórmula de Euler se verifica en diferentes poliedros convexos.

	Caras (C)	Aristas (A)	Vértices (V)	C + V = A + 2

• POLIEDRO REGULAR: poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurre el mismo número de caras.
  Sólo hay 5:
• Tetraedro (4 caras, triángulos equiláteros).
• Hexaedro o cubo (6 caras, cuadrados).
• Octaedro (8 caras, triángulos equiláteros).
• Dodecaedro (12 caras pentágonos regulares).
• Icosaedro (20 caras, triángulos equiláteros).

• POLIEDRO SEMIRREGULAR: poliedro convexo cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. y en cada vértice concurre el mismo número de caras. por ejemplo, un prisma pentagonal con caras laterales cuadrados.
• POLIEDRO ARQUIMEDIANO: Arquímedes, aunque no hay ninguna prueba documental que lo acredite, estudió 13 poliedros semirregulares. Para saber más:
  http://historiasdematematicas.blogspot.com/2016/03/poliedros-o-solidos-arquimedianos.html 

Ejercicio 3: Investiga sobre la vida y obra de Arquímedes.

Ejercicio 4: Clasifica el siguiente cuerpo geométrico cuyas caras son cuadrados y triángulos equiláteros. ¿Es un poliedro semirregular?

Ejercicio 5: Publica en tu blog una entrada con los cinco poliedros regulares también llamados sólidos platónicos. ¿Por qué se llaman así? ¿Y por qué sólo hay 5? ¿De dónde reciben el nombre los sólidos arquimedianos?

• CUERPO DE REVOLUCIÓN: cuerpo geométrico formado al girar una figura plana alrededor de un eje (recta).   
• CILINDRO.
• CONO.
• ESFERA.
• ¡Ojo con el eje que elegimos! Podemos obtener figuras espaciales muy sorprendentes.

Ejercicio 6:

• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CILINDRO?
• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un CONO?
• ¿Qué figura plana hay que girar y alrededor de qué eje para obtener un ESFERA?

¡Decir que un cuerpo geométrico  no tiene recovecos ni agujeros no es muy matemático!

Un cuerpo geométrico se dice CONVEXO si el segmento determinado por dos puntos cualesquiera que pertenezcan a él está completamente contenido en él. Observa que los poliedros convexos los puedes dejar en una mesa (plano) apoyados sobre cualquiera de sus caras. O dicho de otra forma, el plano de cualquiera de sus caras no corta a ninguna otra cara.

Ejercicio 7: ¿Los cuerpos de revolución son convexos?

Ejercicio 8: ¿Qué es TRUNCAR un cuerpo geométrico en el espacio? Pon cuatro ejemplos diferentes. ¿Si truncamos un cuerpo geométrico convexo se obtiene siempre otro cuerpo geométrico convexo (o mejor dicho, dos, por cada truncamiento)?

Se te podría ocurrir hacer la siguiente pregunta: ¿Hay más poliedros convexos?

"En Matemáticas el arte de HACER PREGUNTAS es más valioso que resolver problemas" GEORG CANTOR