En el experimento aleatorio por antonomasia consideramos que las bolas tienen 2 características. Por ejemplo, color y número.
En un experimento aleatorio es fundamental explicitar qué vamos a observar. En esta situación podemos tener 3 experimento aleatorios:
Podemos construir la siguiente tabla de doble entrada:
En dicha tabla de doble entrada podemos observar los casos posibles de los tres experimentos aleatorios anteriores.
Ejercicio 2: De nuevo, en Matemáticas, nos encontramos con parejas ordenadas... ¡Un producto cartesiano! ¿En qué otros contextos matemáticos te las has encontrado?
E1: espacio muestral del experimento aleatorio 1 (observar el color).
E2: espacio muestral del experimento aleatorio 2 (observar el número).
E: espacio muestral del experimento aleatorio 3 (observar el color y el número).
Observación 1: un suceso elemental del experimento aleatorio simple 1 (observar el color) puede ser visto como la UNIÓN de sucesos elementales del experimento compuesto 3 (observar el color y el número).
Ejemplo: {"Amarillo”} = {(A,1) ∪ {(A,2)} ∪ {(A,3)} ∪ {(A,4)}
- Observar el color.
- Observar el número.
- Observar el color y el número.
Ejercicio 1: ¿Cuál es el espacio muestral en cada caso?
Podemos construir la siguiente tabla de doble entrada:
“Amarillo”
|
“Negro”
|
“Azul”
|
“Verde”
|
“Morado”
|
“Rojo”
|
|
1
|
(A,1)
|
(N,1)
|
(Az,1)
|
(V,1)
|
(M,1)
|
(R,1)
|
2
|
(A,2)
|
(N,2)
|
(Az,2)
|
(V,2)
|
(M,2)
|
(R,2)
|
3
|
(A,3)
|
(N,3)
|
(Az,3)
|
(V,3)
|
(M,3)
|
(R,3)
|
4
|
(A,4)
|
(N,4)
|
(Az,4)
|
(V,4)
|
(M,4)
|
(R,4)
|
En dicha tabla de doble entrada podemos observar los casos posibles de los tres experimentos aleatorios anteriores.
Ejercicio 2: De nuevo, en Matemáticas, nos encontramos con parejas ordenadas... ¡Un producto cartesiano! ¿En qué otros contextos matemáticos te las has encontrado?
E1: espacio muestral del experimento aleatorio 1 (observar el color).
E2: espacio muestral del experimento aleatorio 2 (observar el número).
E: espacio muestral del experimento aleatorio 3 (observar el color y el número).
E = E1 x E2 = {(C,c) / C∈E1 , c∈E2}
Observación 1: un suceso elemental del experimento aleatorio simple 1 (observar el color) puede ser visto como la UNIÓN de sucesos elementales del experimento compuesto 3 (observar el color y el número).
Ejemplo: {"Amarillo”} = {(A,1) ∪ {(A,2)} ∪ {(A,3)} ∪ {(A,4)}
Observación 2: un suceso elemental del experimento aleatorio simple 2 (observar el número) puede ser visto como la UNIÓN de sucesos elementales del experimento compuesto 3 (observar el color y el número).
Ejemplo: {"1”} = {(A,1)} ∪ {(N,1)} ∪ {(Az,1)} ∪ {(V,1)} ∪ {(M,1)} ∪ {(R,1)}Observación 3: un suceso elemental del experimento aleatorio compuesto 3 (observar el color y el número) puede ser visto como la INTERSECCIÓN de sucesos elementales de los experimentos aleatorios simples 1 (observar el color) y 2 (observar el número).
Ejemplo: {(A,1)} = {"Amarillo”} ∩ {"1”}
“Amarillo”
|
“Negro”
|
“Azul”
|
“Verde”
|
“Morado”
|
“Rojo”
|
|
1
|
(A,1)
|
(N,1)
|
(Az,1)
|
(V,1)
|
(M,1)
|
(R,1)
|
2
|
(A,2)
|
(N,2)
|
(Az,2)
|
(V,2)
|
(M,2)
|
(R,2)
|
3
|
(A,3)
|
(N,3)
|
(Az,3)
|
(V,3)
|
(M,3)
|
(R,3)
|
4
|
(A,4)
|
(N,4)
|
(Az,4)
|
(V,4)
|
(M,4)
|
(R,4)
|
Ejercicio 3: Extraer una bola al azar significa que cualquier bola desprovista de sus características tiene la misma probabilidad de ser extraída. ¿Cuál es entonces la asignación de probabilidades de esos tres experimentos aleatorios? ¡A contar casos!
“Amarillo”
|
“Negro”
|
“Azul”
|
“Verde”
|
“Morado”
|
“Rojo”
|
||
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
2
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
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4
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3
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0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
2
|
4
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1
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0
|
0
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1
|
0
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1
|
3
|
1
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
10
|
Algunos llaman a esta tabla, tabla de contingencia.
¿Has realizado ya el ejercicio 3? De la tabla anterior podemos construir esta otra tabla con las probabilidades (asignación de probabilidades) que también algunos llaman tabla de contingencia.
“Amarillo”
|
“Negro”
|
“Azul”
|
“Verde”
|
“Morado”
|
“Rojo”
| ||
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
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2
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
4
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3
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0
|
1
|
0
|
1
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0
|
0
|
2
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4
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1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
1
|
1
|
2
|
3
|
1
|
2
|
1
|
Ejercicio 4: Investiga el origen de las tablas de contingencia. ¿Por qué reciben ese nombre?
También podemos construir los siguientes diagramas de árbol:
Observación: ¿Es relevante el orden en observar el color y el número? No, podríamos haber construido la tabla de doble entrada al revés:
Ejercicio 5: Construye la tabla de contingencia y los diagramas de árbol correspondientes al siguiente experimento aleatorio: "Extraer al azar una carta de la baraja española y observar el palo y el número".
“1”
|
“2”
|
“3”
|
“4”
|
|
“Amarillo”
|
(1,A)
|
(2,A)
|
(3,A)
|
(4,A)
|
“Negro”
|
(1,N)
|
(2,N)
|
(3,N)
|
(4,N)
|
“Azul”
|
(1,Az)
|
(2,Az)
|
(3,Az)
|
(4,Az)
|
“Verde”
|
(1,V)
|
(2,V)
|
(3,V)
|
(4,V)
|
“Morado”
|
(1,M)
|
(2,M)
|
(3,M)
|
(4,M)
|
“Rojo”
|
(1,R)
|
(2,R)
|
(3,R)
|
(4,R)
|
Ejercicio 5: Construye la tabla de contingencia y los diagramas de árbol correspondientes al siguiente experimento aleatorio: "Extraer al azar una carta de la baraja española y observar el palo y el número".
Experimento aleatorio compuesto
Un experimento aleatorio compuesto es un experimento aleatorio conformado por la realización consecutiva o simultánea de varios experimentos aleatorios simples.
Ejemplo 1: "Extraer, al azar, una bola con dos características (por ejemplo, color y número) de una urna que contiene un número finito de bolas Y OBSERVAR LAS DOS CUALIDADES DE LA BOLA EXTRAÍDA".
Ejemplo 2: "Extraer, al azar, dos bolas con una característica (por ejemplo, color, número, ...) con m cualidades de una urna que contiene un número finito de bolas con una determinada distribución de las m cualidades Y OBSERVAR LA CUALIDAD DE LA DOS BOLAS EXTRAÍDAS".
Observación: Al extraer dos bolas al azar de una urna tenemos dos casos.
- Sin reemplazamiento: extraer dos bolas simultáneamente o una tras otra pero sin devolver la primera bola extraída a la urna Y OBSERVAR LA CUALIDAD DE LA DOS BOLAS EXTRAÍDAS.
- Con reemplazamiento: extraer una bola Y OBSERVAR LA CUALIDAD DE LA BOLA EXTRAÍDA, devolverla a la urna y extraer otra vez una bola Y OBSERVAR LA CUALIDAD DE LA BOLA EXTRAÍDA.
Probabilidad condicionada
En un experimento aleatorio podemos tener información de lo que ha ocurrido y por tanto podemos preguntar por la probabilidad de que haya ocurrido un suceso aleatorio A sabiendo que ha ocurrido un suceso aleatorio B. Decimos cuál es la probabilidad del suceso aleatorio A condicionado a la ocurrencia del suceso aleatorio B y lo llamamos probabilidad condicionada de A cuando B y lo denotamos p(A/B). También solemos omitir la palabra condicionada y decimos entonces probabilidad de A cuando B.
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio 3 (observar el color y el número) al extraer al azar una bola con esas dos características (véase la urna), ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea verde sabiendo que tiene un 2? Es decir ¿p("Verde"/"2")? Nos fijamos cuántas bolas tienen un 2 y de ellas cuántas son verdes. por tanto, p("Verde"/"2") = 1/4 = 0'25 = 25%
Ejemplo 2: Se extrae al azar un individuo de una población de individuos con dos características: sexo y deporte practicado. La tabla de contingencia es la siguiente:
¿Cuál es la probabilidad de que sea chica sabiendo que practica baloncesto? Nos fijamos cuántos individuos juegan al baloncesto y de ellos cuántos son chicas, por tanto, p("Chica"/"Baloncesto") = 35/60 ∼ 0'5833 = 58'33%
Ejercicio 6: Practica el cálculo de probabilidades condicionadas usando una tabla de contingencia. Por ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico sabiendo que practica otros deportes? ¿Cuál es la probabilidad de que practique fútbol sabiendo que es una chica?
Observación: Si dividimos numerador y denominador por el número de individuos de la población (caso posibles) obtenemos
p("Chica"/"Baloncesto") = 35/60 = (35/294) / (60/294) = p("Chica" ∩ "Baloncesto") / p("Baloncesto")
En general: p(A/B) = p(A∩B) / p(B).
Obviamente p(B) ≠ 0 entonces p(A∩B) = p(A/B) · p(B)
También tenemos p(B/A) = p(B∩A) / p(A).
Obviamente p(A) ≠ 0 entonces p(B∩A) = p(B/A) · p(A)
Ha llegado el momento de construir un diagrama de árbol con probabilidades.
Observación: Las probabilidades en el primer nivel del diagrama de árbol son las correspondientes a la asignación de probabilidades del correspondiente experimento aleatorio simple "Extraer, al azar, una bola de la urna y observar el color de la bola extraída". Y las probabilidades en el segundo nivel del diagrama de árbol son las probabilidades condicionadas.
Ejercicio 7: Escribe las probabilidades en el otro diagrama de árbol.
Ejercicio 8: Practica el cálculo de probabilidades usando un diagrama de árbol. Por ejemplo, en el experimento aleatorio del ejemplo 2, usa los datos del diagrama de árbol para responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?
Ejercicio 9: Escribe el espacio muestral y la asignación de probabilidades de los siguientes experimentos aleatorios compuestos:
“Chica”
|
“Chico”
|
||
“Fútbol”
|
16
|
58
|
74
|
“Baloncesto”
|
35
|
25
|
60
|
“Atletismo”
|
45
|
30
|
75
|
“Otros”
|
58
|
27
|
85
|
154
|
140
|
294
|
¿Cuál es la probabilidad de que sea chica sabiendo que practica baloncesto? Nos fijamos cuántos individuos juegan al baloncesto y de ellos cuántos son chicas, por tanto, p("Chica"/"Baloncesto") = 35/60 ∼ 0'5833 = 58'33%
Ejercicio 6: Practica el cálculo de probabilidades condicionadas usando una tabla de contingencia. Por ejemplo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico sabiendo que practica otros deportes? ¿Cuál es la probabilidad de que practique fútbol sabiendo que es una chica?
Observación: Si dividimos numerador y denominador por el número de individuos de la población (caso posibles) obtenemos
p("Chica"/"Baloncesto") = 35/60 = (35/294) / (60/294) = p("Chica" ∩ "Baloncesto") / p("Baloncesto")
En general: p(A/B) = p(A∩B) / p(B).
Obviamente p(B) ≠ 0 entonces p(A∩B) = p(A/B) · p(B)
También tenemos p(B/A) = p(B∩A) / p(A).
Obviamente p(A) ≠ 0 entonces p(B∩A) = p(B/A) · p(A)
Ha llegado el momento de construir un diagrama de árbol con probabilidades.
Ejercicio 7: Escribe las probabilidades en el otro diagrama de árbol.
Ejercicio 8: Practica el cálculo de probabilidades usando un diagrama de árbol. Por ejemplo, en el experimento aleatorio del ejemplo 2, usa los datos del diagrama de árbol para responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?
Ejercicio 9: Escribe el espacio muestral y la asignación de probabilidades de los siguientes experimentos aleatorios compuestos:
- Extraer al azar, de una urna con 3 bolas numeradas con 1, 2 y 3, consecutivamente las 3 bolas, y sin devolver la bola extraída a la urna, observar el número de cada bola en el orden en el que han sido extraídas.
- Lanzar dos dados y observar los números de sus caras superiores. ¡Ojo con el enunciado ambiguo de este ejercicio!
- Extraer al azar de una urna con 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes, consecutivamente 3 bolas y sin devolver la bola extraída a la urna y observar el color de cada bola.¡Ojo con el espacio muestral y la asignación de probabilidades! ¡NO ES UN EXPERIMENTO REGULAR!
- Extraer al azar de una urna con 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes, simultáneamente 3 bolas y observar el color de cada bola.
Ejercicio 10: Halla la probabilidad de los siguientes sucesos aleatorios correspondientes a los experimentos aleatorios del ejercicio anterior:
- A = "Los números observados estén en orden creciente o en orden decreciente".
- B = "Los números obtenidos en las caras superiores difieran en 3".
- C = "Los colores observados son todos diferentes".
- D = "Los colores observados son todos diferentes".
Sucesos aleatorios independientes
En un experimento aleatorio, el suceso aleatorio A se dice independiente del suceso aleatorio B si p(A/B) = p(A). Es decir, la ocurrencia del suceso aleatorio B no influye, no condiciona, la ocurrencia del suceso aleatorio A. Y el suceso aleatorio B se dice independiente del suceso aleatorio A si p(B/A) = P(B). Es decir, la ocurrencia del suceso aleatorio A no influye, no condiciona, la ocurrencia del suceso aleatorio B.
Si A es independiente de B, como p(A∩B) = p(A/B) · p(B), entonces p(A∩B) = p(A) · p(B).
Si B es independiente de A, como p(B∩A) = p(B/A) · p(A), entonces p(B∩A) = p(B) · p(A).
Gracias a la propiedad conmutativa es fácil demostrar
A independiente de B si y sólo si B independiente de A
Por eso se dice que los sucesos aleatorios A y B son independientes. En caso contrario se dicen dependientes.
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio "extraer dos bolas al azar de una urna" sin reemplazamiento, los sucesos aleatorios A = "la primera bola es azul" y B = "la segunda bola es roja" son dependientes.
Ejemplo 2: En el experimento aleatorio "extraer dos bolas al azar de una urna" con reemplazamiento, los sucesos aleatorios A = "la primera bola es azul" y B = "la segunda bola es roja" son independientes.
En un experimento aleatorio, el suceso aleatorio A se dice independiente del suceso aleatorio B si p(A/B) = p(A). Es decir, la ocurrencia del suceso aleatorio B no influye, no condiciona, la ocurrencia del suceso aleatorio A. Y el suceso aleatorio B se dice independiente del suceso aleatorio A si p(B/A) = P(B). Es decir, la ocurrencia del suceso aleatorio A no influye, no condiciona, la ocurrencia del suceso aleatorio B.
Si A es independiente de B, como p(A∩B) = p(A/B) · p(B), entonces p(A∩B) = p(A) · p(B).
Si B es independiente de A, como p(B∩A) = p(B/A) · p(A), entonces p(B∩A) = p(B) · p(A).
Gracias a la propiedad conmutativa es fácil demostrar
A independiente de B si y sólo si B independiente de A
Por eso se dice que los sucesos aleatorios A y B son independientes. En caso contrario se dicen dependientes.
Ejemplo 1: En el experimento aleatorio "extraer dos bolas al azar de una urna" sin reemplazamiento, los sucesos aleatorios A = "la primera bola es azul" y B = "la segunda bola es roja" son dependientes.
Ejemplo 2: En el experimento aleatorio "extraer dos bolas al azar de una urna" con reemplazamiento, los sucesos aleatorios A = "la primera bola es azul" y B = "la segunda bola es roja" son independientes.
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