Probabilidad de un suceso aleatorio

Definición experimental

Si el número de realizaciones de un experimento aleatorio es MUY GRANDE entonces la frecuencia relativa de un suceso aleatorio A se acerca hacia un valor que llamamos PROBABILIDAD. Y se denota por p(A).

Por tanto la probabilidad de un suceso aleatorio tiene las mismas propiedades que la frecuencia relativa:

1. p(E) = 1
2. p(∅) = 0
3. 0≤ p(A)≤ 1
4. A y B incompatibles (A∩B=∅): p(A∪B) = p(A) + p(B)
5. A₁, ... A_n incompatibles dos a dos (A_i∩A_j=∅ i≠j): p(A₁∪ ... ∪A_n) = p(A₁) + ... + p(A_n)
6. p(A∪B) = p(A) + p(B) - p(A∩B)
7. p(A) = 1 - p(A)

Definición axiomática de Kolmogorov

Kolmogorov observa que la probabilidad es una aplicación p que asocia a un suceso aleatorio A de un experimento aleatorio un número p(A) con unas mínimas propiedades de forma que el resto de propiedades se pueden deducir.

Mínimas propiedades:

1. p(E) = 1
2. 0≤p(A)
3. A y B incompatibles (A∩B=∅): p(A∪B) = p(A) + p(B)

Asignación de probabilidades: para definir dicha aplicación basta con definir las probabilidades de los sucesos elementales. Si un experimento aleatorio tiene n CASOS POSIBLES, es decir, n sucesos elementales, una asignación de probabilidades consiste en asociar a dichos sucesos elementales un número no negativo p_i, i = 1 .. n y tal que su suma sea 1 de acuerdo con las anteriores propiedades.

Ejercicio 1: Sea un experimento aleatorio con 6 sucesos elementales y la siguiente asignación de probabilidades: ¿se podría tratar del lanzamiento de un dado y observar la puntuación de su cara superior?

Sucesos elementales	Probabilidad
{1} = “sacar 1”	p1 = 0’1
{2} = “sacar 2”	P2 = 0’1
{3} = “sacar 3”	P3 = 0’2
{4} = “sacar 4”	P4 = 0’3
{5} = “sacar 5”	P5 = 0’1
{6} = “sacar 6”	P6 = 0’2

¿Cuál es la probabilidad del suceso aleatorio A = "sacar par" = {2,4,6}?

Experimento aleatorio regular: experimento aleatorio cuyos sucesos elementales son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad. El experimento aleatorio del ejercicio anterior NO es regular. Podemos tener el prejuicio de que lanzar un dado y observar la puntuación de su cara superior debe ser REGULAR. ¡Ojo! Seguramente diremos que el dado del experimento aleatorio del ejercicio anterior está trucado. ¡Pues mucho cuidado con los prejuicios!

Ejercicio 2: Sea un experimento aleatorio con 6 sucesos elementales y la siguiente asignación de probabilidades: ¿es un experimento aleatorio regular?

Sucesos elementales	Probabilidad
{1} = “sacar 1”	p1 = 1/6
{2} = “sacar 2”	P2 = 1/6
{3} = “sacar 3”	P3 = 1/6
{4} = “sacar 4”	P4 = 1/6
{5} = “sacar 5”	P5 = 1/6
{6} = “sacar 6”	P6 = 1/6

¿Cuál es la probabilidad del suceso aleatorio A = "sacar par" = {2,4,6}?

Ayuda: Observa que cualquier suceso aleatorio se puede expresar como la unión de sucesos elementales y los sucesos elementales son incompatibles dos a dos, por tanto, podrás aplicar la propiedad 5. A = "sacar par" = {2,4,6} = {2} ∪ {4} ∪ {6}.

Regla de Laplace: en un experimento REGULAR, es decir, en el que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad p, si tiene n sucesos elementales (n casos posibles) entonces p + ... (n veces) ... + p = np = 1 ⇒ p = 1/n. Como ocurre en el ejercicio 2, dicho experimento aleatorio tiene 6 sucesos elementales equiprobables (n = 6) y por tanto la probabilidad de cada uno de ellos es 1/6. Y para calcular la probabilidad de cualquier sucesos lo expresamos como la unión de sucesos elementales, por ejemplo, A = "sacar par" = {2,4,6} = {2} ∪ {4} ∪ {6}. Y recuerda que los sucesos elementales son incompatibles dos a dos. Como ya sabemos, los casos posibles que conforman dicho suceso aleatorio A: 2, 4 y 6 se dicen casos favorables del suceso aleatorio A. La probabilidad de dicho suceso aleatorio A es p(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6. Y en general, tenemos la conocida como REGLA DE LAPLACE: 

p(A) = Número h de casos favorables del suceso aleatorio A / Número n de casos posibles del experimento aleatorio. Es decir, p(A) = h / n.

La probabilidad de un suceso aleatorio resulta ser una razón, más concretamente, una fracción. También observamos que se trata de CONTAR el número de casos, por tanto el cálculo de probabilidades requiere de la COMBINATORIA.

Ejercicio 3: Dos hombres, J y K, y dos mujeres, L y M, se sientan, al azar, en una fila de cuatro sillas. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos mujeres se sienten a la izquierda del hombre J?

Experimento aleatorio por antonomasia: cualquier experimento aleatorio finito (n casos posibles) se puede formular en términos del siguiente experimento aleatorio por antonomasia:

"Extraer, al azar, una bola con una característica (por ejemplo, color, número, ...) con m cualidades de una urna que contiene un  número finito de bolas con una determinada distribución de las m cualidades Y OBSERVAR LA CUALIDAD DE LA BOLA EXTRAÍDA".

Está claro que es un experimento aleatorio con m casos posibles y una asignación de probabilidades que dependerá de la distribución de las m cualidades.

Ejercicio 4: Expresa los anteriores experimentos aleatorios en términos del experimento aleatorio por antonomasia.