Experimento o fenómeno aleatorio

Las Matemáticas surgen como una abstracción de la realidad conformada por fenómenos para cuyo estudio se construyen MODELOS que pueden ser de dos tipos:

• Deterministas (SUCESIONES [modelo discreto] y FUNCIONES [modelo continuo])
• Aleatorios (PROBABILIDAD)

Ejemplos de fenómenos reales (deterministas o aleatorios):

• Movimiento rectilíneo y uniforme.
• Lanzamiento de tres dados.

Ejercicio 1: Pon ejemplos de fenómenos deterministas.

Ejercicio 2: Pon ejemplos de fenómenos aleatorios.

Un experimento es un fenómeno que el ser humano puede REPETIR tantas veces como quiera. ¿Distingues bien un fenómeno que se pueda repetir de otro que no? Obviamente, los experimentos también pueden ser deterministas o aleatorios.

Realización de un experimento aleatorio: control de los elementos que intervienen en el fenómeno que se está estudiando y observación del resultado. Al número de realizaciones de un experimento aleatorio lo denotamos por N. Al observar el resultado se deben distinguir TODOS LOS CASOS POSIBLES.

Espacio muestral de un experimento aleatorio: conjunto de TODOS LOS CASOS POSIBLES.

Suceso aleatorio: es un subconjunto del espacio muestral.

¡¡¡ ¿Cuánto sabes de TEORÍA DE CONJUNTOS? !!!

Espacio de sucesos aleatorios: es el conjunto de TODOS los sucesos aleatorios de un experimento aleatorio.

Ejemplo 1: En el experimento aleatorio de lanzar una moneda y observar la cara visible el espacio muestral, es decir el conjunto de los casos posibles, es E = {C,X} donde C es "sacar cara" y X es "sacar cruz". El espacio de sucesos aleatorios es el conjunto de todos los subconjuntos, ahora llamados sucesos aleatorios,

Ω = {∅,{C},{X},E={C,X}}

Observa que el número de sucesos aleatorios es 1 + 2 + 1 = 4

Ejemplo 2: En el experimento aleatorio de lanzar un dado y observar la puntuación de la cara superior el espacio muestral, es decir el conjunto de los casos posibles, es E = {1,2,3,4,5,6} donde 1 es "sacar 1", 2 es "sacar 2", 3 es "sacar 3", 4 es "sacar 4", 5 es "sacar 5", y 6 es "sacar 6", . El espacio de sucesos aleatorios es el conjunto de todos los subconjuntos, ahora llamados sucesos aleatorios,

Ω = {∅,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,4,5},{1,2,4,6},{1,2,5,6},{1,3,4,5},{1,3,4,6},{1,3,5,6},{1,4,5,6},{2,3,4,5},{2,3,4,6},{2,3,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6},E={1,2,3,4,5,6}}

Observa que el número de sucesos aleatorios es 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64

Ejercicio 3: ¿Cuántos sucesos aleatorios tiene un experimento aleatorio cuyo espacio muestral tiene n casos posibles? ¿Conoces el triángulo de Tartaglia, también llamado de Pascal? Si has contestado que NO espero que tu curiosidad te lleve a investigar sobre él.

Tipos de sucesos aleatorios:

• Suceso imposible: ∅
• Sucesos elementales: {1},{2},{3},{4},{5},{6}
• Sucesos compuestos: los conformados por más un caso posible.
• Suceso seguro: E={1,2,3,4,5,6}

Verificación u ocurrencia de un suceso aleatorio: se dice que ocurre o se verifica un suceso aleatorio A cuando observamos uno cualquiera de los casos posibles que lo conforman. Los casos posibles que conforman un suceso aleatorio A se dicen casos favorables del suceso aleatorio A.

Ejercicio 4: Sea el suceso aleatorio A = "sacar par" = {2,4,6} del experimento aleatorio "lanzar un dado y observar la puntuación de la cara superior". Los casos favorables del suceso aleatorio A = "sacar par" son 2, 4 y 6. Realizamos dicho experimento aleatorio y observamos que la puntuación de la cara superior es un 4, ¿ha ocurrido el suceso aleatorio A?

Operaciones con sucesos aleatorios:

• UNIÓN de dos sucesos A y B: A∪B 
• INTERSECCIÓN de dos sucesos A y B: A∩B
• CONTRARIO o COMPLEMENTARIO de un suceso aleatorio A: A^c

Propiedades de las operaciones con sucesos aleatorios:

https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/2.html

Sucesos aleatorios incompatibles: en un experimento aleatorio, el suceso aleatorio A se dice incompatible con el suceso aleatorio B si A∩B=∅. Y el suceso aleatorio B se dice incompatible con el suceso aleatorio A si B∩A=∅. Por la propiedad conmutativa de la intersección de sucesos aleatorios (A∩B = B∩A) ambas definiciones son equivalentes y por eso se dice que los sucesos aleatorios A y B son incompatibles. Es decir, los sucesos aleatorios A y B no pueden ocurrir a la vez.

Espacio completo de sucesos aleatorios: es un conjunto de sucesos aleatorios que verifica las siguientes propiedades:

• La unión de todos los sucesos aleatorios es el suceso seguro.
• Los sucesos aleatorios son incompatibles dos a dos.

Ejemplos:

• Los sucesos elementales.
• Un suceso aleatorio y su contrario.

Frecuencia absoluta de un suceso aleatorio A: es el número de veces que ocurre dicho suceso aleatorio A al realizar repetidamente el experimento aleatorio N veces. Se denota por f(A)

Propiedades:

1. f(E) = N
2. f(∅) = 0
3. 0≤ f(A)≤ N
4. A y B incompatibles (A∩B=∅): f(A∪B) = f(A) + f(B)
5. A₁, ... A_n incompatibles dos a dos (A_i∩A_j=∅ i≠j):
   f(A₁∪ ... ∪A_n) = f(A₁) + ... + f(A_n)
6. f(A∪B) = f(A) + f(B) - f(A∩B)
7. f(A^c) = N - f(A)

Frecuencia relativa de un suceso aleatorio A: es la razón (relación o cociente) de la frecuencia absoluta f(A) y el número de realizaciones del experimento aleatorio N. Se denota por fr(A)

Propiedades:

1. fr(E) = 1
2. fr(∅) = 0
3. 0≤ fr(A)≤ 1
4. A y B incompatibles (A∩B=∅): fr(A∪B) = fr(A) + fr(B)
5. A₁, ... A_n incompatibles dos a dos (A_i∩A_j=∅ i≠j):
   fr(A₁∪ ... ∪A_n) = fr(A₁) + ... + fr(A_n)
6. fr(A∪B) = fr(A) + fr(B) - fr(A∩B)
7. fr(A^c) = 1 - fr(A)

Ejercicio 5: Se realiza 20 veces el experimento aleatorio "lanzar un dado y observar la puntuación de la cara superior" y se obtienen los siguientes resultados: 4, 2, 1, 5, 3, 6, 3, 4, 5, 2, 6, 1, 4, 5, 1, 2, 3, 6, 4 y 3. Halla la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa de los siguientes sucesos aleatorios:

• A = "Sacar par" = {2,4,6}
• B = "Sacar múltiplo de 3" = {3,6}
• A∪B = "Sacar par o múltiplo de 3".
• C = "Sacar 6" = {6}
• Comprueba que se cumple la propiedad 6.